《2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其运算课件新人教B版选择性必修第一册06》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其运算课件新人教B版选择性必修第一册06（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.1空间向量及其运算,核心素养,1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法.(数学抽象) 2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.(数学运算) 3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.(逻辑推理) 4.理解空间向量夹角的概念,并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.(数学抽象) 5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.(逻辑推理),思维脉络,激趣诱思,知识点拨,一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车,上面装满了好吃的东西,于是就想把车子从路上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲,使出了平生的力气一起拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也动不了.原
2、来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后倒拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.同学们,你们知道这样拉车,车子为什么不动吗?,激趣诱思,知识点拨,1.空间向量的概念,激趣诱思,知识点拨,微判断 (1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.() (2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.() (3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.() 答案:(1)(2)(3) 微练习 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量AD相等的向量共有() A.1个B.2个C.3个D.4个 答案:C,激趣诱思,知识点拨,2.空间向量的线性运算及其运算律,(3)数乘:a, 当0,a0时, |a|=|a|,而且a的方向:
3、当0时,a与a方向相同; 当0时,a与a方向相反; 当=0或a=0时,a=0.,激趣诱思,知识点拨,(4)线性运算律 加法交换律:a+b=b+a; 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); 分配律:(+)a=a+a,(a+b)=a+b. 名师点析 空间向量的线性运算中,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法满足三角形法则. (2)以向量a,b对应的有向线段为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度. (3)三个不共面的向量和,等于以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向
4、量.,激趣诱思,知识点拨,微判断 空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.() 答案: 微练习1 A.a+b+cB.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c,答案:C,激趣诱思,知识点拨,微练习2,微思考 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量有什么特点? 提示:和向量为0.,激趣诱思,知识点拨,3.空间向量的夹角,激趣诱思,知识点拨,微判断 答案: 微思考 两个非零向量共线时,其夹角分别是多少? 提示:两个非零向量共线且同向时,=0;两个非零向量共线且反向时,=.,激趣诱思,知识点拨,4.空间向量的数量积 (1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则
5、|a|b|cos叫做a,b的数量积(也称为内积),记作ab.即ab=|a|b|cos. (2)规定零向量与任意向量的数量积为0.,微判断 若非零向量a,b为共线且同向的向量,则ab=|a|b|.() 答案: 微思考 两个向量的数量积与数乘向量有何不同? 提示:两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积,其结果是实数;数乘向量是一个数与一个向量的乘积,其结果仍是一个向量,如0a=0,而0a=0.,激趣诱思,知识点拨,5.空间向量的数量积的性质 (1)abab=0; (2)aa=|a|2=a2; (3)|ab|a|b|; (4)(a)b=(ab); (5)ab=ba(交换律); (6)(a+
6、b)c=ac+bc(分配律).,激趣诱思,知识点拨,名师点析 (1)空间向量的数量积的运算符号是“”,不能省略,更不能写成“”; (2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量; (3)若ab=k,不能得出a= ; (4)ab的充要条件是ab=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明了命题“ab=0a=0或b=0”是错误的.,激趣诱思,知识点拨,微判断 (1)对于非零向量b,由ab=bc,可得a=c.() (2)对于向量a,b,c,有(ab)c=a(bc).() 答案:(1)(2) 微练习 已知|a|=1,|b|= ,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(
7、) A.60B.30C.135D.45 解析:a-b与a垂直,(a-b)a=0, aa-ab=|a|2-|a|b|cos 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,空间向量的概念 例1给出下列命题:两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为() A.4B.3 C.2D.1,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探
8、究五,素养形成,当堂检测,反思感悟 解决有关向量概念的问题,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.相等向量只需方向相同,长度相等,与向量的起点和终点没有必然的联系.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,变式训练1下列关于空间向量的说法中正确的是() A.空间向量不满足加法结合律 B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反 D.相等向量其方向必相同 解析:A中,空间向量满足加法结合律;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;C中,
9、向量作为矢量不能比较大小,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,空间向量的线性运算 例2如图,已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,例3已知在平行六面体ABCD - ABCD中,M为CC的中点(如图).化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,反思感悟 (1)对于借助几
10、何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘好几何体中本身的特征,如平行、垂直、相等等. (2)化归与转化思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便其运算,如例3中第(2)问将,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,求向量的数量积,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测
11、,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,反思感悟 求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.题目中没有明确基底的时候,合理选取基底是至关重要的,比如此题的基底选取既方便向量表示,又方便计算.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,变式训练4 如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:,探究一,探究二,探究三,探究四,探究
12、五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,利用数量积证明垂直问题 例5 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD. 求证:PABD.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,反思感悟 (1)由数量积的性质abab=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.,探究一,探究
13、二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,变式训练5如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O平面GBD.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,利用数量积求解距离或长度问题 例6平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求B,D间的距离.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,反思感悟 利用向量的数量积求两点间的
14、距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式 求解即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,变式训练6在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,求AC1的长.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,易错点因将向量夹角与直线夹角混淆而致错 案例 如图,空间四边形ABCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M,N分别是AB,AD的中点,计算,探究一,
15、探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,4.若a,b,c为空间两两夹角都是60的三个单位向量,则|a-b+2c|=. 解析:|a-b+2c|2=(a-b+2c)2 =a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc =5.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,答案:601,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,素养形成,当堂检测,6.已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PMQN.,
