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1、黑龙江省实验中学2018年下学期高一年级数学期末考试(文科）满分：150分 完成时间： 120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 点关于直线的对称点为A. B. C. D. 2. 已知关于x的不等式的解集是，则的值是A. B. 11C. D. 13. 已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有， ， ， ，A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 已知变量x，y满足约束条，则的最大值为A. 2B. 6C. 8D. 115. 正项等比数列中，则的值是A. 4B. 8C. 16D. 646. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. B. C. D
2、. 17. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知直线：，与：平行，则a的值是A. 0或1B. 1或C. 0或D. 9. x、y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A. 或B. 2或C. 2或1D. 2或10. 三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆
3、柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 过点且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是_14. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是_15. 已知直三棱柱中，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为_ 16. 已知数列满足，则数列的前n项和 _ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 在数列中，求证：数列是等差数列；求数列的前n项和18. 如图，已知四棱锥，底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点证明：平面PAD；
4、若PA与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积V19. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足， 求C的大小；若的面积为，求b的值20. 已知直线l：证明直线l经过定点并求此点的坐标；若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程21. 已知，若，解不等式；若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；若，解不等式22. 如图，在三棱柱中，平面ABC，E是BC的中点求证：；求异面直线AE与所成的角的大小；若G为中点，求三棱锥体积 答案和解析【答案】1. B2. C3. B4. D
5、5. C6. A7. D8. C9. D10. B11. C12. B13. 或14. 15. 16. 17. 解：解法一：的两边同时除以，得，分所以数列是首项为4，公差为2的等差数列分解法二：依题意，可得，分所以，即，分所以数列是首项为4，公差为2的等差数列分由，得，分所以，故，分所以 分18.本小题满分12分解：由已知及正弦定理可得，分由可得，又，由题意可知，可得：分19. 解：证明：直线l：，化为：，令，解得，直线l经过定点由直线l不经过第四象限，则，直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，由直线l的方程可得与坐标轴的交点，解得：，当且仅当时取等号S的最
6、小值为4，及此时直线l的方程为：20. 解：当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为，或由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，解得，故a的范围为若，不等式为，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式即，它的解集为；当时，不等式的解集为21.证明：、N分别是棱PB、PC中点，又ABCD是正方形，平面PAD，平面PAD，平面PAD平面ABCD，与平面ABCD所成的角为，故四棱锥的体积22. 证明：因为面ABC，面ABC，所以-分由，E为BC的中点得到-分面-分-分解：取的中点，连，则，是异面直线AE与所成的角-分设，则由，可得，在中，-分所以异面直线AE与所成的角为-分连接AG，设P是AC的中
7、点，过点P作于Q，连EP，EQ，则-分又平面平面平面-分而是二面角的平面角-分由，得所以二面角的平面角正切值是-分【解析】1. 解：对于，错误，当时，与可能相交；对于，正确，原因是：，则n垂直内的两条相交直线，又，则m也垂直内的这两条相交直线，则；对于，错误，m与n可能异面；对于，错误，也可能是正确命题的个数是1个故选：B由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题2. 解：若关于x的不等式的解集是，则2，3是方程的根，故， 故，故选：C根据不等式的解集求出a，b的值，作和即可本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和二次函数的关
8、系，是一道基础题3. 解：设对称点坐标，则：中点坐标为 中点坐标在直线上，即： 直线与直线垂直，则有： 由解得：， 所以对称点坐标，故选：B设对称点坐标，利用点到直线的距离公式或者斜率成乘为和中点坐标公式即可求出m，n的值本题考查了点关于直线对称的问题利用点到直线的距离公式或者斜率成乘为和中点坐标公式建立关系即可求解属于基础题4. 解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由知，所以动直线的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由得，结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值故选：D先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线的最大值即可本题主要考查了简单的线性规
9、划，以及利用几何意义求最值，属于基础题5. 【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力设正项等比数列n的公比为q，由a3，a46，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出【解答】解：设正项等比数列的公比为q，解得，故选C6. 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积，高为1，故棱锥的体积，故选：A由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键7. 解：点，过点的直线L与线段AB有公共点，直线l的斜率或，的斜率为
10、，PB的斜率为，直线l的斜率或，故选：D 根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础8. 解：当时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是，显然两直线是平行的当时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：综上，或，故选：C先检验当时，是否满足两直线平行，当时，两直线的斜率都存在，由，解得a的值本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验9. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分由得，即直线的截距最大，z也最大若，此时，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
11、若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，则直线与直线平行，此时，若，目标函数的斜率，要使取得最大值的最优解不唯一，则直线与直线，平行，此时，综上或，故选：D 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线斜率的变化，从而求出a的取值本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义10. 解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：故选：B判断三视图对
12、应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力11. 【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【解答】解：在，代入，解得的形状是等边三角形故选C12. 解：三棱锥中，为等边三角形，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球长方体的对角线长为，球直径为，半径，因此，三棱锥外接球的表面积是故选：B证明，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥外接球算出长方体的对角线即为球直径，结合球的
13、表面积公式，可算出三棱锥外接球的表面积本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题13. 解：当直线过原点时，方程为，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入直线的方程可得，故直线方程是综上，所求的直线方程为，或，故答案为：，或当直线过原点时，用点斜式求得直线方程当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题14. 解：， 恒成立，求得 故答案为：先把转化为展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据求得，进而求得m的范围本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力15. 解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为，外接球的半径为，外接球的表面积为，
