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1、坦克的履带单位长度质量为r ，轮的半径为r， 轮轴之间的距离为d，坦克前进的速度为v0 。 求全部履带的总动能。,例2,解：在C1C2杆上建立动系C1xy。,牵连运动为水平平移，牵连速度为ve =v0；,相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为w v0/r ,履带上各点的相对速度均为vr= v0 。,应用柯希尼定理，全部履带的总动能为,图示坦克的履带质量为m1，每个车轮质量为m2，车轮可看成匀质圆盘，半径为R。设坦克前进的速度为v，试求整个系统的动能。,习题14.7：,解：运动分析,将履带分为四部分，如图示,已知：匀质杆AB，L，m，v，h 求:杆AB的动能？,解:I为匀质
2、杆AB的速度瞬心,1416 如图所示，均质圆盘半径为r，质量为m1，可绕 固定水平轴O转动。重物A的质量为m2，BC为弹簧，且位置水 平，刚度系数为k，OC=e ，当OC铅直时系统平衡。 求A物受到微小干扰而作上下微小振动时，系统的周期。,1416 ，均质圆盘半径为r，质量为m1，重物A的质量为m2， 刚度系数为k，OC=e ，系统平衡时OC铅直,求A物作上下微小 振动时，系统的周期。,习题1424 放置于水平面 的图示行星齿轮机构。已知行星齿轮节圆半径为r，质量为m1，可视为均质圆盘。均质曲柄OO1受不变力矩M的作用而绕固定轴O转动，并带动行星齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动。,曲柄OO1质量
3、为m2， 固定齿轮节圆半径为R。 设曲柄由静止开始运动， 试求曲柄转动f角时的 角速度和角加速度。,习题1424解 开始时，整个系统处于静止，所以T1=0。 当曲柄转过角f时，设曲柄的角速度为w1，动齿轮中心的速度为v1 ，动齿轮的角速度为w2，则系统在位置时的动能为,因为 v1=(R+r)w， w1= v1 /r =(R+r)w/r ，,因为 v1=(R+r)w， w1= v1 /r =(R+r)w/r ，,所以可将动能T2表示为w的函数。 又因为,习题1424解,求角速度和角加速度。,习题1424解,将上式两边对时间求导数，,并注意到,得曲柄的角加速度为,求角速度和角加速度。,习题1424
4、解,解：设曲柄的角速度为 ， P点为AB杆速度瞬心，故,习题14.26 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是匀质细杆，其质量分别为m和2m，且OD=AD=BD=l，如图所示。滑块A与B的质量相等，均为m1，如作用在曲柄上一力矩M。不计摩擦，求曲柄角加速度。,P,因为椭圆规尺在水平面内运动， 重力不做功，所以,解：设曲柄的角速度为 ，P点为AB杆速度瞬心，故,习题14.26 曲柄质量m和椭圆规尺质量为2m，滑块A与B的质量均为m1， OD=AD=BD=l，力矩M。求曲柄角加速度。,系统的动能,P,习题14.26 曲柄质量m和椭圆规尺质量为2m，滑块A与B的质量均为m1， OD=AD
5、=BD=l，力矩M。求曲柄角加速度。,系统的动能,P,由动能定理，有,习题14.26 曲柄质量m和椭圆规尺质量为2m，滑块A与B的质量均为m1， OD=AD=BD=l，力矩M。求曲柄角加速度。,系统的动能,P,由动能定理，有,等式两边求导，得,14.27 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,解：用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,由动能定理的微分形式：,两边除以，并求导数，
6、得,习题14-28解,均质细杆长为l，重Q，上端B靠在光滑的墙上，下端A以铰链与圆柱的中心相连。圆柱重P，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动，杆与水平线的交角=450。求点A在初瞬时的加速度。,解：取杆AB与圆柱A为质点系,受力分析：,运动分析： 圆柱A作平面运动， C点为速度瞬心,杆AB作平面运动， I点为速度瞬心,从 位置时，力的功为,习题14-28解,从 位置时，力的功为,质点系的动能,其中,习题14-28解,根据质点系的动能定理 ，得,习题14-28解,两边同时对时间t求导，整理得,习题14-28解,得,习题14-28解,14-29: 重物A质量m1，系在绳子
7、上，绳子跨过固定滑轮D，并绕在鼓轮B上，如图所示。由于重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮B半径为r，轮C的半径为R，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。求重物A的加速度a。轮D质量不计。,解：以整个系统为研究对象,I为速度瞬心,求重物A的加速度a。轮D质量不计。,根据质点系的动能定理 ，得,习题14-29解,解：以整个系统为研究对象,求重物A的加速度a。轮D质量不计。,根据质点系的动能定理 ，得,习题14-29解,解：以整个系统为研究对象,I为速度瞬心,习题14-29解,建立坐标系Ixy,x,y,列平面运动微分方程,习题14-29解,由式（1），得：
8、,由式（4）、（6）、（3），得：,将式（6）、（7）代入式（5），得：,习题14-29解,解得：,习题14-29解,习题14.30 用动能定理求解,系统动能,习题14.30 用动能定理求解,系统动能,习题14.32 长为l ， 质量为m 的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。,解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。,由机械能守恒定律：,将代入上式，化简后得,初瞬时：,任一瞬时：,系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成， A，B为铰链，D为
9、小滚轮，且AD水平。每根杆的质量m=6 kg，长度l=0.75 m。当仰角q1=60时，系统由静止释放。求当仰角减到q2=20时杆AB的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。,习题14.33,解:,取整个系统为研究对象，其中杆AB定轴转动，而杆BD平面运动。,由图b知，杆BD的速度瞬心是Cv。分析点B的速度有,由于BCv = BD = AB，代入上式，求得,wAB = wBD,AB wAB = BCv wBD,习题14.33,AB = BD,但两者的转向相反。另外，当q2=20 时，有,DCv = 2l sin 20 ,由余弦定理可求得Cv E ，从而得杆BD质心C的速度,vE = Cv E BD
10、,习题14.33,在运动过程中，只有杆的重力做功。所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为,系统开始时处于静止，初动能 T1=0，而末动能等于,习题14.33,从而得杆AB的角速度大小,AB = 3.9 rads1 (顺钟向),代入动能定理积分形式的方程 T2 T1=W,习题14.33,习题14.34,圆管的质量为m1，半径为R，以初角速度w0绕铅直轴转动。管内有质量为m 2 的小球，由静止开始自A处下落，,试求小球到达B处和C处时圆管的角速度和小球相对于管的速度。已知圆管对轴的转动惯量为J，摩擦不计。,习题1434,管质量m1，转动惯量J，半径R，w0 ；小球质量m 2 ，,解： 1、取圆环
11、（包括转轴）和小球 组成的系统为对象： 2、受力分析： 因为所有的力都与转轴平行或相交，,3、设小球到达B处时圆管的角速度w1,解得,小球到达C处时圆管的角速度w2 Jw0=Jw2 得 w2 w0,v,C,由系统的动量矩守恒,习题14.34,4、小球对管的速度（由动能定理）,在B处,解得,解得,在C处,v,Cr,Br,v,习题14.34,1439 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。,解：（1）取圆盘为研究对象,，圆盘平动。,（2）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0
12、，,（2）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：,代入数据，得,习题14.39,（3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。,盘质心加速度：,杆质心C的加速度：,习题14.39, 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。,（4）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统,代入数据，得,习题14.39,习题14.37 如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r的匀质圆盘，重量均为P1 ；重物C重为P2 。当滚子沿倾角为的斜面向下作纯滚动时，,试求： （1）滚子A质心的加速度； （2
13、）两端绳子的拉力； （3）滑轮轴承处的反力； （4）滚子A和斜面的摩擦力F， 摩擦系数f至少为多少？,解：(1) 求滚子A质心的加速度,以整个系统为研究对象,开始静止时动能,滚子质心A沿斜面下降距离S时,系统动能为,受力分析，运动分析,其中,作用于系统上的力所作的功为,根据动能定理,得,将上式对时间t求导,注意到：,q,（2）求物C上绳的拉力T1,取物C为研究对象,受力分析，运动分析,由动力学基本方程，得,（3）求滚子A上绳的拉力T2和轴承B处的反力XB、YB,取定滑轮B为研究对象：受力分析，运动分析,由 得,解得,q,根据质心运动定理,得,并注意质心的加速度,解得,q,4）求滚子A和斜面的摩
14、擦力F和摩擦系数的最小值fmin,取滚子A为研究对象：受力分析，运动分析,建立相对质心的转动微分方程,q,由 得,q,习题13-33 如图所示系统，物块A质量为m1，沿楔块的斜面下降，借绕过滑轮的绳索使质量为m2的物体B上升。斜面与水平面成a角，滑轮的质量和各处摩擦均忽略不计。求楔块作用于地板凸出部分D处的水平压力。,解：设物块A 由静止 开始下滑，某瞬时其速度为v， 画运动分析图和受力图 ， 列动力学方程：,解：设物块A 由静止开始下滑，某瞬时其速度为v，画运动分析图和受力图 ，列动力学方程：,等式两边对时间求导得,即,等式两边对时间求导得,由质心运动定理,图示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑
15、动，A和B各重P和Q，三棱柱B的斜面与水平面成角。如开始时物系静止，求运动时三棱柱B的加速度。忽略摩擦。,例3：,解：,以两三棱柱为质点系,受力分析 运动分析,由受力分析可知,开始时物系静止，,开始时物系静止，,三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑高度为h时,作用在系统上所有力所作的功,由动能定理 得,将上式对时间t求导，并,得,例 一条质量为m，长度为L的链条放在光滑桌面上， 有长为b的一段悬挂下垂，设链条开始时处于静止，在自重的作用下运动，若链条可视为均质，当末端滑离桌面时，求链条的速度。,解：设任一瞬时，链条下垂部分 长度为 x，如图，该质点系 所受的外力有：重力、桌面反力。 由于在位移过程中，链条各环之间 相对距离不变，故内力不作功，并 且桌面反力不作功，置于桌面部分 的链条的重力也不作功，所以只有 下垂部分链条的重力才作功。,若链条产生一微小位移dx, 则下垂部分重力为：,如在运动时链条不发生碰撞，则链条上各点处速度 大小均相等，设该瞬时速度的大小为v，有：,元功为：,两边分别积分，并由,求解得,链条最后一环离开桌面时,解法2：,链条最后一环离开桌面时,由动能定理得：,
