《1199编号人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1199编号人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理 第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示 知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set） ，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、 无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ” 括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即 123 , n a a aa 用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素 x，也要把|( )xA P x 握其属性，适用于无限集.( )P x 3. 通常用大写拉丁字母表示集合. 要记住一些常见
2、数集的表示， 如自然数集N，, ,A B C 正整数集或，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R. * NN 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to） ，分别用符号 、 表示，例如，.3N2N 例题精讲： 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； 2 (23)0 x xx （2）大于 2 且小于 7 的整数. 解解：（1）用描述法表示为：； 2 | (23)0 xR x xx 用列举法表示为.0, 1,3 （2）用描述法表示为：；|27xZx 用列举法表示为.3,4,5,6 【例 2】用适当的符号填空
3、：已知，则有： |32,Ax xkkZ |61,Bx xmmZ 17 A； 5 A； 17 B. 解解：由，解得，所以；3217k 5kZ17A 由，解得，所以；325k 7 3 kZ5A 由，解得，所以.6117m 3mZ 17B 【例【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4） （1）一次函数与的图象的交点组成的集合； 3yx26yx （2）二次函数的函数值组成的集合； 2 4yx （3）反比例函数的自变量的值组成的集合. 2 y x 解解：（1）. 3 ( , )|(1,4) 26 yx x y yx （2）. 2 |4 |4y yxy y
4、（3）. 2 | |0 x yx x x 点评点评 ： 以上代表元素， 分别是点、 函数值、 自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为，1,4 也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同， 分析时一定要细心. 2 AB BA ABA B A B C D *【例【例 4】已知集合，试用列举法表示集合 A 2 |1 2 xa Aa x 有唯一实数解 解解：化方程为：应分以下三种情况： 2 1 2 xa x 2 (2)0 xxa 方程有等根且不是：由 =0，得，此时的解为，合2 9 4 a 1 2 x 方程有一解为， 而另一解不是： 将代入得， 此时另一解，222
5、x 2a 12x 合 方程有一解为，而另一解不是：将代入得，此时另一解为222x 2a ，合21x 综上可知， 9 ,2, 2 4 A 点评点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易 造成增根的现象. 第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系 知识要点： 1. 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素， 则说两个集合有包含包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（subset） ，记作（或） ，ABBA 读作“A 含于 B”（或“B 包含 A”）. 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集 （） ， 且集合 B 是集合
6、 A 的子集 （） ， 即集合 AABBA 与集合 B 的元素是一样的，因此集合 A 与集合 B 相等，记作. AB 3. 如果集合，但存在元素，且，则称集合 A 是集合 B 的真子集（proper ABxBxA subset） ，记作 AB（或 BA）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set） ，记作，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质：；若，则；AAABBCAC 若，则；若，则.ABAABABABA 例题精讲： 【例 1】用适当的符号填空： （1）菱形 平行四边形； 等腰三角形 等边三角形. （2） ； 0 0； 0； N 0. 2 |20 xR x 解解：（1） ，
7、 ； （2）=， ， ， . 【例 2】设集合，则下列图形能表示 A 与 B 关 1 , 22 |, | n nxnnAx xBxZZ 系的是（ ）. 解解：简单列举两个集合的一些元素， 3113 ,1,0,1, 2222 A 31 1 3 , 22 2 2 B ， 易知 BA，故答案选 A 另解另解：由，易知 BA，故答案选 A 21, 2 | n xnBx Z 【例 3】若集合，且，求实数 的值. 2 |60 ,|10Mx xxNx ax NMa 解解：由，因此，. 2 6023xxx或2, 3M （i）若时，得，此时，；0a N NM （ii）若时，得. 若,满足，解得.0a 1 N a
8、 NM 11 23 aa 或 11 23 aa 或 故所求实数 的值为 或或.a0 1 2 1 3 点评点评：在考察“”这一关系时，不要忘记“” ，因为时存在. 从而ABA AB 需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 【例 4】已知集合 A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若 A=B，求实数 x 的值. 解解：若a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1. 2 2 abax abax 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去； 当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去. 若2ax2-ax-a=0. 2 2 aba
9、x abax 因为 a0，所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又 x1，所以只有. 1 2 x 经检验，此时 A=B 成立. 综上所述. 1 2 x 点评点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确 定集合. 第 3 讲 1.1.3 集合的基本运算（一） 知识要点： 集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解 题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集交集补集 概念 由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合， 称为集合A与B 的并集（union set）
10、 由属于集合 A 且属于集 合 B 的元素所组成的集 合，称为集合 A 与 B 的 交集（intersection set） 对于集合A,由全集U中不 属于集合 A 的所有元素组 成的集合，称为集合 A 相 对 于 全 集 U 的 补 集 （complementary set） 记号（读作“A 并 B” ）AB（读作“A 交 B” ）AB（读作“A 的补集” ） UA 符号 |,ABx xAxB或 |,ABx xAxB且 |, UA x xUxA且 图形 表示 例题精讲： 【例 1】设集合., | 15, |39,() U UR AxxBxxABAB 求 解解：在数轴上表示出集合 A、B，如右
11、图所示： ， |35ABxx U A A B BA -1359x 4 ，() |1,9 U CABx xx 或 【例 2】设，求：| | 6AxZx1,2,3 ,3,4,5,6BC （1）； （2）.()ABC() A ABC 解解：.6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6A （1）又，； 3BC ()ABC 3 （2）又，1,2,3,4,5,6BC 得.()6, 5, 4, 3, 2, 1,0 A CBC .() A ACBC6, 5, 4, 3, 2, 1,0 【例 3】已知集合，且，求实数 m 的取值范围. | 24Axx |Bx xmABA 解解：由，可得.ABA
12、AB 在数轴上表示集合 A 与集合 B，如右图所示： 由图形可知，.4m 点评点评 ： 研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之 间的关系，得到各端点之间的关系， 特别要注意是否含端点的问题. 【 例 4】 已 知 全 集， 求， * |10,Ux xxN且2,4,5,8A 1,3,5,8B () U CAB ， ，并比较它们的关系. () U CAB()() UU C AC B()() UU C AC B 解解：由，则.1,2,3,4,5,8AB ()6,7,9 U CAB 由，则5,8AB ()1,2,3,4,6,7,9 U CAB 由，1,3,6,7,9 U C A 2,4,6,7,9
13、U C B 则，()()6,7,9 UU C AC B .()()1,2,3,4,6,7,9 UU C AC B 由计算结果可以知道，()()() UUU C AC BCAB .()()() UUU C AC BCAB 另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评点评：可用 Venn 图研究与 ，在理解的()()() UUU C AC BCAB()()() UUU C AC BCAB 基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题. 第 4 讲 1.1.3 集合的基本运算（二） 知识要点： 1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.
14、 我们需通过 Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图 形，我们还可以发现一些集合性质：,.()()() UUU CABC AC B()()() UUU CABC AC B 2. 集合元素个数公式：.()( )( )()n ABn An Bn AB 3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考 查创新思维. 例题精讲： 【例 1】设集合，若，求实数 的值. 2 4,21,9,5,1AaaBaa 9AB a 解解：由于，且，则有： 2 4,21,9,5,1AaaBaa 9AB 当解得，此时，不合题意，故舍去；21
15、9 a 时，5a=4, 9, 25=9, 0, 4AB， 当时，解得. 2 9a 33a 或 不合题意，故舍去；3 =4,5,9 =9,2,2aAB 时， ， ，合题意.3=4, 7 9=9, 8, 4aAB ， ， ， -2 4 m x B A 4 m x 所以，.3a 【例 2】设集合，求, .（教 |(3)()0,AxxxaaR |(4)(1)0BxxxABAB 材 P14 B 组题 2） 解解：.1,4B 当时，则，；3a 3A 1,3,4AB AB 当时，则，；1a 1,3A 1,3,4AB 1AB 当时，则，；4a 3,4A 1,3,4AB 4AB 当且且时，则，.3a 1a 4a 3, Aa1,3,4, ABaAB 点评点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时， 需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则. 【例 3】设集合 A = |， B = |，若 AB=B，x 2 40 xxx 22 2(1)10 xaxa aR 求实数 的值a 解解 ： 先化简集合 A=. 由 AB=B， 则 BA， 可知集合 B 可为， 或为0， 或4， 或 4,0 . 4,0 (i)若 B=，则，解得 ； 22 4(1)4(1)0aa a1 (ii)若B，代入得=0=1 或 =，
