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1、八年级数学讲义第11章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接2三角形的表示ABC中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b顶点：A，B，C 内角：A ，B ，C二、 三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+ca(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差第三边两边之和.2. 三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点
2、和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； 直角三角形三条高线交于直角顶点；钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 三角形的角1 三角形内角和定理结论1：ABC中：A+B+C=180 三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余 三角形中至多有1个钝角注意：在三角形中，已知两个内角可以求出第三
3、个内角如：在ABC中，C=180（A+B）在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角如：ABC中，已知A：B：C=2：3：4，求A、B、C的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角2.2性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、 三角形的分类(1) 按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形(2) 按边分：不等边三角形 底与腰不等的等腰三角形 等边
4、三角形五 多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。3、多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。4、n边形的内角和等于(n2)180(n3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360多边形外角和恒等于360，与边数的多少无关. 多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360；相邻的多边形有公共边。 【
5、考点三】判断三角形的形状8、若ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断ABC的形状。9、已知a，b，c是ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断ABC的形状。10、若ABC的三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断ABC的形状。二、三角形角有关计算1.如图ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,A= 50,C = 70求DAC,AOB 解AD是ABC的高,C = 70 DAC =180-90-70=20 BAC =50 ABC =180-50-70=60 AE 和BF是角平分
6、线 BAO =25, ABO =30 AOB =180-25-30=125 2.如图, ABC中, D是BC边上一点，1= 2, 3=4，BAC= 63,求DAC的度数 3. 已知：P是ABC内任意一点. 求证：BPCA 4.如图，1=2， 3=4，A= 100，求x的值 5.已知ABC的B、C的平分线交于点O。求证：BOC=90+ A (角平分线模型)6.已知：BP、CP是ABC的外角的平分线，交于点P。 求证：P=90- A (角平分线模型)7.ABC中，ABC的平分线BD和ABC的外角平分线CD交于D，求证：A=2D (角平分线模型) 8.AOB中，AOB=90,OAB的平分线和ABC的
7、外角OBD平分线交于P，求P的度数 9.如图：求证：A+B+C=ADC (飞镖模型) 第12章 全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。（1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，记作2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等 二 、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS）边角边（SAS）角边角(ASA)角角边AAS直角边和斜边（HL） 三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三
8、角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）2全等三角形证题的思路：3全等三角形的隐含条件：公共边（或公共角）相等 对顶角相等利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 利用平行线的性质得出同位角、内错角相等全等三角形（SAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示ABCEDF如图，在和中，24【典型例题】ADBEC【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.证明：在ABE和ACD中， AB=AC，BAE=CADAD=AEABEA
9、CD（SAS）BE=CD.ABDEC12【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE的度数.BEAFCO【例4】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，ABDE且ABDE，AFDC。求证：BCEF。 DABCE【例5】如图，已知ABC、BDE均为等边三角形。求证：BDCD=AD。全等三角形（SSS）【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”，几何表示【典型例题】【例1】如图，在中，M在BC上，D在AM上，A
10、B=AC , DB=DC 求证：AM是的角平分线证明:在ABD和ACD中，AB=ACDB=DCAD=ADABDACD (SSS)BAD=CAD又AB=ACMB=MCAM是的角平分线(三线合一)【例2】如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。例3. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：B=C。例4. 如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DEAB。全等三角形（AAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 【典型例题】ADBECF【例1】已知如图，求证：BC=EFAB
11、DEC【例2】如图，AB=AC，求证：AD=AE【例3】已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEFABCDP1234【例4】已知如图，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之全等三角形（ASA）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS”， 【典型例题】【例1】如图，已知中，、分别是及平分线求证：【例2】如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.证明：MQ和NR是MPN的高， MQNMRN90， 又132490，34 12 在MPQ和NHQ中， MPQNHQ
12、（ASA） PMHN【例3】已知：如图ACCD于C , BDCD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF全等三角形（HL）【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”【典型例题】1、如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：ADECBF例2、已知：BECD，BEDE，BCDA，求证： BECDAE；DFBCBCDEFA例3、如图：在ABC中，C=90，AC=BC，过点C在ABC外作直线MN，AMMN于M，BNMN于N。（1）求证：MN=AM+BN。全等三角形常见辅助线的作法一 倍长中线法倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法倍长中线法的过程：延长到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）方法总结：遇中线，要倍长，倍
