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1、第四章典型混沌电路及其分析,1983年美国伯克利分校蔡少棠发明“蔡氏电路”震动了学术界，促进了现代非线性电路理论的发展，在全世界掀起一股研究非线性电路的热潮。蔡氏电路原理图非常简单，然而电路输出动态特性却极其复杂，因而成为现代非线性电路的典范。电子学工作者发现，早在二十世纪初，范德坡在研究三相复电流时就已经遇到了混沌，只是当时还没有意识到混沌问题，当今又重新引起人们研究的兴趣。20余年来，电子学工作者将其它领域中已经研究清楚的非线性系统如洛伦茨方程、逻辑斯蒂映射等用模拟电路予以实现，并且根据电子学电路的特点，比较轻松地发明了一大批混沌电路。混沌电路已经形成一个庞大的家族，使电子学电路成为非线性
2、各学科领域中引人注目的一个学科。,1混沌电路综述,一、电路中混沌现象发现与研究的历史 电路中的混沌现象早在20世纪20年代就被发现，前面曾经提到的范德坡的工作就涉及到电路中的混沌现象。实际上，范德坡所处的时代正是建立电路理论基础的时代，当时的科学家急需建立振幅稳定与频率稳定的振荡电路，从而产生稳定的电磁波。稳定振荡的数学模型是极限环，当时的理论基础还不能够完全满足工程技术的需要，必须由电子工程师一方面进行工程技术设计，一方面完善数学基础理论。极限环的数学基础理论是微分方程理论，而且还是非线性的微分方程理论，而非线性的微分方程很容易产生混沌，范德坡、李纳德等科学家就是在这样的情况进行研究的。,由
3、于当时混沌问题的研究历史不成熟，就把电路中出现的混沌现象认为是一种尚未认真研究的另一种现象，是一种需要消除的坏现象，起码是要暂时回避的现象，这就是当时科学家的态度。这个现象不仅在电子学领域中存在，而且在其它学科领域中也存在，例如数学学科中的庞加莱。从这里可以看出，电子学的发展历史与其它学科的发展历史是密切相关的，是互相推动与互相制约的，这也正是20世纪上半叶电子科学技术的大背景，是电子学从物理学的电磁学中独立出来并向信息科学发展的大背景。从这里还可以看出，电子学中的混沌现象研究与应用研究必定会蓬勃发展起来，这是历史的必然。,再回过头来看频率稳定性问题的研究。由于历史时代要求频率的稳定，它与当时
4、的其它技术的共同发展，处于主流地位，使得线性电子技术以巨大的势头形成人类社会的重要产业，并将人类文明推向信息化历史时代。相对说来，非线性电子学在相当长的时期内处于缓慢发展的时期。“十年不鸣，一鸣惊人”，1983年蔡少棠提出的蔡氏混沌电路震惊了电子学界，许多电子工作者投入了精力予以研究。,1990年，混沌同步电路的研究再次把非线性电路研究推向一个高潮，这是因为它的重要意义特别是它极有可能用于保密通信与军事目的受到重视。神经网络电路、分形编码、混沌测量电路等为非线性电路大家庭增加了许多新成员。到现在，人们提出了许许多多的混沌电路，各种混沌电路文献浩如烟海，几乎每年约数千篇的论文问世，技术上也不断出
5、现新突破。非线性电路目前处于稳定、健康、迅速发展的时期。,二、电路系统动态特性分类,根据分类目的的不同，电路系统分类的形式也很不同。现在按照电路动态特性分类，它和电路状态方程的阶数有一定的关系。电路系统的变量是电压、电流、电荷、电磁链，控制变量是电路元件电阻、电容、电感等参数。从能量的角度看，电路系统中有的元件（包括分布参数）从电路系统中吸收能量，变成热能或辐射能等，有的元件从电路工作电源吸收能量，储存或消耗在电路系统中，电路系统与外界进行着能量的交换。从信息的角度看，电路系统与外界一般进行信息交换，输入信息与输出信息。从物质的角度看，电路系统与外界一般不进行物质交换。物理学中，与外界进行着物
6、质、能量交换的系统叫做开放系统; 与外界不进行物质、能量交换的系统叫做封闭系统; 与外界仅进行能量交换的系统叫做耗散系统，因此电路系统是耗散系统。,一般地说，电路系统更关心的是信息交换，因而对于能量交换的关心程度相对偏少，有时侯会忽略某些重要问题，应该引起注意。现在讨论电路系统能量交换中对于信息状态的影响，并以电路系统储能元件个数及有无信号输入进行讨论。 将不包含随时间变化的激励信号的电路叫做自治电路，将包含随时间变化的激励信号的电路叫做非自治电路。以下讨论中我们把激励信号分成“简单”的信号和“复杂”的信号，“简单”的信号如正弦波信号或者其它周期信号，“复杂”的信号如混沌信号。,1、零阶电路无
7、储能元件电路，即纯电阻电路,纯电阻电路用代数方程描述，由于纯电阻电路是时不变元件，所满足的方程与时间无关，不需要列写微分方程，仅列写代数方程就够了，故纯电阻电路是零阶电路微分方程（非微分方程）。对于零阶电路微分方程，分为线性零阶电路微分方程与非线性零阶电路微分方程，还分为自治零阶电路微分方程与非自治零阶电路微分方程，两两构成四种零阶电路微分方程。,零阶电路微分方程不存在电路运动问题，但是存在电路求解问题，这些问题研究成熟，方法有叠加原理、代文宁定理、诺顿定理、电压源电流源等效变换方法等。自治零阶电路不会产生新的动态特性。,2、一阶微分电路仅含有一个储能元件的电路,电路仅有零输入响应与零状态响应
8、问题，是研究现代电子电路的起步电路，一般电路分析教科书中都有详细的讨论。,3、二阶微分电路含有二个储能元件的电路,对于自治线性二阶微分电路，动态特性为衰减振荡或增幅振荡，不稳定。对于自治非线性二阶微分电路，电路可以产生极限环，属于稳定振荡电路。对于非自治非线性二阶微分电路，能够产生混沌，如杜芬方程电路，圆周映射也属于这种情况，并且导致符号动力学的研究。对于自治非线性二阶微分电路，不能够产生混沌。,4、三阶微分电路含有三个储能元件的电路,三阶非线性微分电路已经复杂化，能够产生混沌。例如蔡氏电路、洛伦茨方程电路等，这还是自治电路的情况。对于非自治电路，还能产生超混沌与亚超混沌。,5、三阶以上微分电
9、路,运动特性更复杂,可能出现多级超混沌现象。将以上各种情况整理于下表。,表4-1 电路方程的阶、自治与非自治、线性与非线性的形态,由上表可以看出,1、若电路的阶数相同，则n阶非自治电路与n+1阶自治电路形态相同。,2、尽管非线性的n阶非自治电路及n+1阶自治电路与线性的n+1阶非自治电路及n+2阶自治电路有许多相似之处，但是线性电路永远不能产生混沌。,三、混沌电路的定义,目前混沌电路的定义有多种形式，这里采用系统的初始激发已经衰减到零时的稳态响应的频率特性来定义。稳态响应的频率特性粗分有下列4种：,1、噪声响应：系统输出为噪声，连续频谱输出。 2、静态响应：在状态相空间，所有轨道趋于一个平衡点
10、。 3、同频周期响应、非同频周期响应与准周期响应：系统输出与输入信号相同频率的周期波形，即o=i; 系统输出与输入信号正整数倍频率的周期波形，o=ni，n为正整数; 系统输出与输入信号真分数倍频率的周期波形，即o=pi,p为真分数; 系统输出与输入信号基频不可约分的周期分量波形。 4、混沌电路：与以上电路都不同的输出，定义如下： 一个由确定性运动方程所描述的确定性电路，由直流或确定性输入信号所激励，其输出波形中包含一段或多段连续频谱，那么称此电路为混沌电路。,四、几种混沌电路之间的关系,1、混沌电路动态特性的共同点 任何混沌电路的相图都落在某一个奇异吸引子之中，前面几节 讨论的几个吸引子是在三
11、维相空间中运动。相图具有以下几个特点： （1）一个相图中的相轨线只有一根，无头无尾，（平衡点是不动点，应该认为是无穷时间，并且实际上绝对的不动点是不存在的。表示运动无休止，永不重复，永不相交。 （2）庞加莱截面图是分形图，有精细结构，无限复杂，具有自相似性。 （3）奇异吸引子有不稳定的平衡点、吸引盆、吸引域、分形面。其中我们感兴趣的是，经常是一个不稳定焦点，如洛斯勒吸引子; 两个不稳定焦点，如蔡氏电路、杜芬方程电路、洛伦茨方程电路的吸引子等; 少数是多个不稳定焦点。,2、几个混沌电路的分组、比较与相互关系,（1）从线性LRC串联电路与LRC谐振电路演变而来的非线性电路。,线性LRC串联电路与线
12、性LRC谐振电路满足的微分方程分别是,范德坡方程是,杜芬方程是,对照线性LRC串联电路与范德坡方程，范德坡方程是将线性LRC串联电路一阶导数的正系数2改为（x2-1）,使得当x1时为衰减振荡，当x1时为增幅振荡，从而产生极限环。范德坡方程的非线性项是从一阶导数的系数中引入的。,对照线性LRC谐振电路与杜芬方程，实质是仅仅多了一项ax3，导致线性的单峰谐振幅频曲线成为多峰谐振幅频曲线，出现了混沌。,（2）圆周映射,是双频非线性耦合，从电路构成来看，它与杜芬方程电路是完全相同的，实验电路都是LC振荡器。,（3）蔡氏电路,洛沦兹方程电路,洛斯勒方程电路,这三个方程电路是一组电路，是三阶微分方程电路。
13、蔡氏电路的非线性项是五段折线，能用x的1、3、5、7、9等次多项式拟合。洛沦兹方程的非线性项是xz与xy，洛斯勒方程的非线性项是xz。根据这样一来的规律，我们也可以自己构造出形形色色的非线性电路，实现混沌电路的灵活设计。,（4）逻辑斯蒂映射,对应的电路是最普遍的混沌电路，几乎所有的混沌电路中都有逻辑斯蒂映射关系，例如蔡氏电路就是这样的典型电路。,2 典型蔡氏混沌电路分析,一、典型蔡氏电路结构与状态方程,1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授发明了蔡氏电路(Chuas Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。蔡氏
14、电路是由线性电阻电容、电感和非线性“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路，它满足以下一种能够产生混沌的条件：（a)非线性元件不少于一个；（b)线性有效电阻不少于一个；（c)储能元件不少于三个，蔡氏电路符合以上标准，如图4-1。一个具体的典型蔡氏电路如图4-2所示。,图4-1 蔡氏电路方框图,图4-2 典型的蔡氏电路,另一种典型的蔡氏电路如图4-3所示，也是经常被讨论的一个电路。,图4-3 另一种典型的蔡氏电路,蔡氏电路状态方程为：,其中，,或,VC1、VC2和iL 分别是元件C1、C2的两端电压及通过电感的电流，G是可调阻抗器的电导，G=1/RN是等效非线性电阻的电导。上述三个方程是一个等式右端不显
15、含时间的常微分方程组，系统状态由VC1、VC2、iL三个状态变量描述，构成三维相空间。由于G(VC1）是非线性电阻函数，可以用多项式函数展开，含有高次项，所以在方程组中的第一个方程是非线性方程。,二、蔡氏电路电压、电流图形分析,1、波形图分析,典型蔡氏电路图4-2、图4-3的电压、电流波形呈现复杂的运动形态，处于无休止的运动，也不是周期性的运动，其中V1与IL在两个正、负数值之间跳来跳去，波形相同而极性相反； V2在零附近无规则地变化，如图4-4所示。,(a) V1波形,(b) V2波形,(c) IL波形,图4-4 典型蔡氏电路V1、V2与IL信号输出波形,2、相图分析,蔡氏电路的相图是V1-
16、V2-IL三维空间的相轨迹流线图，在V1-V2、V1-IL、V2-IL三个相平面的透影如图4-5(a)、(b)、(c)所示，将3个相图画在一起并用立体图的形式表示则见图4-5(d)。由相图清楚可见，相图轨线在三维相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳去，永不闭合，运动是无周期的。蔡氏电路的这一个运动形态被蔡氏叫做“双涡旋”，因为它的相图很象两个靠近的旋涡。图4-5(e)是三维相图的形象化画法。,(a) Vc1Vc2平面相图,(b) Vc1IL平面相图,(c) Vc2iL平面相图,(d) 三维相图产生的三个平面相图,(e) 三维相图刻画,图4-5 典型蔡氏电路双涡旋输出相图,三、蔡氏电路元件参数对运动形态的影响,蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有不同的拓扑性质，上述典型蔡氏电路的运动形态仅仅是一个特例，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。现在以其中的线性电阻R为例说明。R两端分别是线性
