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1、前言 刚体的平面运动 非惯性基下刚体动力学 碰撞 刚体的定点运动,理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系,理论力学 CAI,刚体动力学,碰 撞,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,2,碰撞,前言 基本假设、恢复因数 碰撞中刚体动量与动量矩的变化,刚体动力学/碰撞,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,3,碰撞,前言 基本假设、恢复因数 碰撞中刚体动量与动量矩的变化,刚体动力学/碰撞,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,4,前言,如一个运动着的物体，突然对其施加约束，物体的速度也会发生突变 在力学上凡物体的速度或动量发生突变的现象均
2、称为碰撞 本节将根据动力学的基本原理对碰撞现象进行描述，讨论碰撞运动的基本规律,刚体动力学/碰撞/前言,碰撞是物体运动的特殊形式 特点是在很短的时间间隔内 物体的速度发生突然的变化 如工程中的锻铁、打桩，生活中踢足球，捶钉子等,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,5,刚体动力学/碰撞/前言,两物体发生碰撞的时间间隔在千分之一到万分之一秒之间 在碰撞的时间间隔内，速度有很大的变化故物体的加速度极大 在碰撞的时间间隔内，物体相互的作用力非常大 这种在短暂时刻发生远大于普通力的力称为碰撞力 在巨大的碰撞力作用下，物体肯定产生变形，同时会发生声、光与热等物理现象。说明碰撞的物理现象很复杂
3、碰撞过程中将有一部分机械能转化为其他运动形式的能量，机械能不守恒,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,6,碰撞,前言 基本假设、恢复因数 碰撞中刚体动量与动量矩的变化,刚体动力学/碰撞,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,7,基本假定、恢复因数,在理论力学中不考虑碰撞时间间隔内的所有物理过程 主要讨论在碰撞力的作用下物体在碰撞前后的速度的变化,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,8,基本假定1,不考虑碰撞时间间隔中碰撞力的变化,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,碰撞的时间间隔,碰撞力对物体的作用直接用碰撞力的冲量来描述,
4、碰撞力的冲量称为碰撞冲量,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,9,基本假定2,通常碰撞力是物体的普通作用力(如重力、弹性力等)的数百倍或数千倍,在讨论碰撞的效应时只考虑碰撞力，其他的相互作用力均忽略,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,10,基本假定3,由于碰撞的时间间隔t 非常短，质点的位移、刚体的位形变化非常小，而忽略不计，只考虑它们的速度的变化,尽管该位形的变化很小，由于碰撞力很大，故碰撞力所作的功为一有限值，不能忽略,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,11,正碰撞,碰撞前后两球
5、中心的速度与两中心连线重合称为正碰撞,接触变形阶段,变形恢复阶段,正碰撞的两个阶段 各阶段位形不变,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,12,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,动量定理的积分形式,接触变形阶段,变形恢复阶段,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,13,恢复因数,接触变形阶段冲量,变形恢复阶段冲量,牛顿认为 这两个碰撞冲量的比为常数，且该常数与碰撞物体的材料性质有关，与物体的形状、大小与碰撞前的速度无关,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,14,刚体动力学/碰撞/基本假定恢
6、复因数,未知量个数=方程数,无恢复因数的条件无法解,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,15,恢复因数等于碰撞前后两物体相对速度的绝对值之比,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,16,e=0,e=1,变形不恢复,变形完全恢复,完全塑性碰撞,完全弹性碰撞,刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数,接触变形阶段,变形恢复阶段,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,17,碰撞前后的机械能损失,碰撞前后有机械能损失,e=0：完全塑性碰撞,e=1：完全弹性碰撞,损失为零,损失最大,碰撞前后势能不变,假定：碰撞前后刚体位形变化忽略不计,刚体动
7、力学/碰撞/基本假定恢复因数,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,18,碰撞,前言 基本假设、恢复因数 碰撞中刚体动量与动量矩的变化,刚体动力学/碰撞,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,19,碰撞中刚体动量与动量矩的变化,定轴转动的碰撞问题 刚体平面运动的碰撞问题,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,20,定轴转动的碰撞问题,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,惯性基,连体基,运动分析,受力分析,碰撞理想约束力,对 无贡献,在点Pk的碰撞主动力,对 有贡献,姿态坐标,其他非碰撞主动力不计,利用对定轴动量矩定理
8、的积分形式,对定轴动量矩,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,21,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,刚体碰撞前后对该轴动量矩的改变等于主动碰撞力的冲量对该轴的矩之和,假定(3)：碰撞前后刚体位形变化忽略不计,与时间无关,冲量对点O的矩,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,22,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/例,例,以速度为v0匀速运动的小车上有一边长为l的方块。 当小车突然停住时，方块将绕底面的O点翻转,求此时方块翻转的角速度与方块能量的损耗,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,23,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,解,惯
9、性基,运动分析,碰撞前瞬时,滑块的动量,对点O 的动量矩,碰撞后瞬时,对点O 的动量矩,滑块的平动,绕O的定轴转动,设定正向,冲量分析,铰O,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,24,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,滑块的平动,绕O的定轴转动,滑块的动能,机械能的改变,碰撞前瞬时,碰撞后瞬时,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,25,平面运动的碰撞问题,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,惯性基,连体基,运动分析,受力分析,碰撞理想约束力,在点Pk的碰撞外力,碰撞主动力,碰撞前瞬时,碰撞后瞬时,质心速度,刚体角速度,质心速度,刚体角速度,动量,对C
10、的动量矩,动量,对C 的动量矩,包括,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,26,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,动量定理的积分形式,在点Pk的碰撞外力,碰撞前瞬时,质心速度,碰撞后瞬时,质心速度,动量,动量,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,27,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,对质心C的动量矩的积分形式,在点Pk的碰撞外力,碰撞前瞬时,碰撞后瞬时,刚体角速度,对C 的动量矩,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,28,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化,2020/9/19,理论力学CAI
11、刚体动力学,29,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化,对任意动点D：,?,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,30,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化,对任意动点D：,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,31,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化,刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化,对任意动点D：,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,32,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/例,例,均质杆OA质量为m1，长为l，一端O由铰链与机座相连。从水平位置下
12、落，在铅垂位置 杆的另一端A撞击一质量为m2的方块 设点A与方块的质心C2在同一水平线上 已知恢复因数为e,求撞击后杆的角速度与方块的速度，杆对方块的冲量,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,33,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,解,惯性基,杆由水平位置,碰撞发生前杆的角速度,势能,铅垂位置,机械能守恒,动能,约束力不作功,（1）撞击后杆的角速度与方块的速度,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,34,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,杆定轴转动,碰撞分析,滑块平动,杆角速度,碰撞前瞬时,碰撞后瞬时,滑块速度,杆角速度,滑块速度,冲量分析（杆滑块
13、系统）,其他非碰撞力不计,铰O约束力冲量,重力、摩擦力、滑块的约束力,设定正向,设定正向,设定正向,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,35,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,碰撞前后瞬时,铰O约束力冲量,系统对点O的动量矩,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,36,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,未知量(2)方程数(1),附加方程,恢复因数定义,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,37,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,（2）杆对滑块的冲量,碰撞前瞬时,碰撞后瞬时,滑块速度,滑块速度,动量定理的积分形式,2020/9/
14、19,理论力学CAI 刚体动力学,38,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,1如图所示，滑块与杆AB铰接，静止放在光滑的水平面上。小球D以垂直于杆的速度v与杆AB的端点B发生碰撞。恢复因数为e = 0.5。 滑块与杆AB的质量均为m，小球D的质量为2m。求：（1）碰撞后滑块A的速度和杆AB的角速度。（2）A处的约束冲量 。,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,39,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,1如图所示，滑块与杆AB铰接，静止放在光滑的水平面上。小球D以垂直于杆的速度v与杆AB的端点B发生碰撞。恢复因数为e = 0.5。 滑块与杆AB的质量均为m，小球D的质量为2m。求：（1）碰撞后滑块A的速度和杆AB的角速度。（2）A处的约束冲量 。,碰撞后瞬时,滑块速度,解：速度分析,假定正向,杆的角速度,假定正向,小球速度,假定正向,还需分析碰撞前后AB杆质心和碰撞点B的速度,碰撞前,碰撞后,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,40,刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解,碰撞后瞬时,速度分析,碰撞前瞬时,冲量分析,A处铰链,B处碰撞,2020/9/19,理论力学CAI 刚体动力学,41,刚体动力学/碰撞/刚体动
