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1、遵义师范学院 20112012学年度第一学期 数学文化公共选修课第 7 讲 数学与社会科学、数学与哲学,1,2,在前一讲中，我们从工具与语言、思想与方法、精神和技术四个方面，论述了数学的文化价值为了对数学的文化价值有进一步的了解，从本讲起，我们分别对数学在人类文化中具体到各门科学中的作用，做一个简单的归纳 这一讲先谈谈数学与社会科学的联系。,数学已经广泛地深入到社会科学的各个领域。例如，用数学模型研究宏观经济与微观经济，用数学手段进行社会和市场调查与预测，用数学理论进行风险分析和指导金融投资，等等，在许多国家已被广泛采用，在我国也开始受到重视。在经济与金融的理论研究上，数学的地位更加特殊。在诺
2、贝尔经济学奖的获得者当中，数学家或有研究数学的经历的经济学家占了一半以上。,4,一、数学与社会科学 按照传统的观念，数学属于自然科学或者只是自然科学的工具然而，这一观念随着数学在自然科学以外的各个领域的广泛应用而被改变1984年诺贝尔经济学奖获奖者因在国民经济核算系统的发展中做出了奠基性贡献，极大地改进了经济实践分析的基础而被称为“国民经济统计之父”的英国经济学家理查德斯通（Richard Stone,19131992)在其专著：社会科学中的数学和其他论文的主要作了如下归纳：,5,在社会科学的研究工作中，数学是一种不可缺少的工具，人们普遍认为：各种数学方法不仅在理论层次上，对下列事项是必须的，
3、即对需要明确地用公式表示的问题，对需要根据基本原理得出的结论，以及对于在复杂的发展过程中需要弄明白的各项活动；而且在应用层次上，对下列事项也是必须的，即对各种变量的度量，对各种参数的估计，以及对专心致志地希望获得各种经验数据的活动安排种种复杂的计算,6,第一社会科学的许多分支是明显地，人们几乎可以说是积极地，趋向于定量化的，在某些研究领域中的这方面进展尤为突出例如，人口学和经济学的整个主题素材就在根本地被数量化，以至数学在这些领域中的广泛应用已经不可避免 第二关于各种复杂系统的理论是社会科学的研究主题，正在变得越来越明显的是，复杂系统及其内部关系虽然可以用文字来表达，但在其一般化中很难分析、比
4、较和应用而当用数学表达取代言语，即运用公式把它们正确地表示出来时，这些困难就大为减少,7,第三除非在这些理论关系中的各项条件可以定量化，否则对于这些理论的应用很可能仍然是非常一般化的 第四当各种主题的概念相当模糊时，当关于各种主题的明确信息很难获得时，数学提供了一种看清这些主题的方法，即对于概念上相当含糊的主题以及很难得到确切信息的问题，数学也可提供一种得到有价值见解的方法,8,社会科学尽管五花八门，都只与两个研究领域有关第一个是精确描述社会系统如何运行以及其不同部分如何关联，这种类型的研究旨在探索和分析结构第二个研究领域着眼于控制，也就是着眼于考察关于社会结构运作的有意识目标的效果以及政策形
5、成的理性过程这种类型的研究旨在探索和分析决策 因此，在社会科学中我们感兴趣的不仅在于描述发生了什么，以及描述社会系统的各个部分是如何联系的我们感兴趣的还在于合理的决策程序，这些程序是区别有效决策与无效决策的因素，在很大程度上这些决策程序也可以用公式来表示并正确地加以分析,9,在某个学科中为某种特殊目的而创建的方法也可以相当经常地并且有成效地被应用于另一领域例如描述出生与死亡过程的数学公式，原先是用来调研现存人口的变动情况的，也可以用来调研诸如电线杆或运载工具等非生物群体的变动情况；传染病的传染模型，首先是用来描述各种传染病的传播的，但是也可以用来描述其他的具有感染力的现象，诸如追求较高的教育程
6、度的愿望或购买某种新产品的欲望；投入产出分析方法，原来是用来研究工业部门之间的相互依存关系的，也可以用来研究人口的流动情况；如此等等上述一切都表明在社会科学的课程中还有机会可为有关的课程筹划引进种种数学方法，这些方法在目前通常还被认为是属于个别的学科的,2.数学在社会科学的作用举例： (1)社会分化问题 社会分化问题是社会科学中的民俗学者研究的内容之一，社会分化的经典例子存在于密西西比盆地中的一个美洲印第安部落纳切斯（Natchez）族中，纳切斯族中基本上只有两个阶级：上等人和下等人上等人又分为三级：皇族居最高位，贵族其次，望族虽然仍然是上等人，但与最低层的下等贱民仅一步之遥,据记载，在纳切斯
7、社会中通婚规则是一种绵延不断的社会酵母，在任何婚姻中，夫妻中至少一方总是来自贱民阶级同时，生于上等人家中的孩子与他的母亲同级这样，皇族、贵族或望族母亲与贱民父亲的孩子还是皇族、贵族或望族，而贱民母亲和皇族父亲的孩子将承袭比其父亲低一级的级别，即只是一名贵族这种降级是逐级递降的，从而贱民母亲和贵族父亲的孩子是望族，贱民母亲和望族父亲的孩子将还是贱民至于在社会最底层，贱民与贱民只能产生贱民,从感觉或说是观念上来看，这种习俗似乎颇为合理，可以杜绝或至少保证不至于出现大家都追逐名门望族的求婚欲望从而造成社会人口贵贱的悬殊但是对一个样本人口的数学分析：假设开始时有70名上等人和500名下等人，并且假定人
8、口是稳定的，每个纳切斯人有且仅有一次婚姻，以及每次婚姻只产生一个儿子和一个女儿，就得出下面这张表这张表列出七种可能的联姻及其后果的实际情况，显示出四代以后，贱民婚姻对象就变得稀缺起来：,在数学模型中利用这些假定以后，下列结论就立即变得一目了然：除非一开始在人口中就没有皇族和贵族，否则一种稳定的阶级结构是不可能的因为几代人以后，就将产生大量的上等人，使得没有足够的下等人来与之通婚通过数学模型的分析可以明白，实际的纳切斯人事实上没有稳定的阶级结构 当然，社会问题的不确定性将会导致问题不是那么简单，而且由于纳切斯族已消失多时，这样的社会体系演变下去究竟是怎么结果？也难以肯定,(2)选票分配问题 选票
9、分配问题属于民主政治的范畴选票分配是否合理是选民最关心的热点问题这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究那么，选票分配的基本原则是什么呢？首先是公平合理要做到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配但是会出现这样的问题：人数的比例常常不是整数怎么办？一个简单的办法是四舍五入四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况因为有这个缺点，美国乔治华盛顿时代的财政部长亚历山大汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过,美国国会的议员是按州分配假定美国的人口数是 ，各州的人口数分别是 ， ， ，再假定议员的总数是 记 为第 个州分配
10、的份额汉密尔顿方法的具体操作如下： (1)取各州份额 的整数部分 ，让第 个州先拥有 个议员 (2)然后考虑各个 的小数部分 ，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止,我们举例来说明这一情况假定某学院有三个系，总人数是200，学生会需要选举20名委员表1是按汉密尔顿方法进行分配的结果 表 1,汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规这里还以校学生会的选举为例给以说明由于考虑到20个委员在表决提案时会出现10：1
11、0的结局，所以学生会决定增加1名委员按照汉密尔顿方法分配名额得到表2,表 2,表2的反映出，委员的名额增多了，丙系反而减少一名令人惊奇！1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益其后，1890年，1900年人口普查后，缅因州和克罗拉多州也极力反对汉密尔顿方法所以，从1880年起，美国国会就针对汉密尔顿方法的公正合理性展开了争论因此，必须改进汉密尔顿方法，使之更加合理新的方法不久就提出来了，并消除了亚拉巴马悖论但是新的方法引出新的问题，新的问题又需要消除于是更新的方法，当然是更加公正合理的方法又出现了人们当然会问，有没有
12、一种一劳永逸的解决办法呢？,这个问题从诞生之日起，就一直吸引着众多政治家和数学家去研究这里要特别提出的是，1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理阿罗不可能定理，即不可能找到一个公平合理的选举系统，这就是说，只有更合理，没有最合理原来世上无真正的“公”！阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑 阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果因此，作为一名数学家，阿罗于1972年获得了诺贝尔经济学奖选举问题吸引经济学家的因素主要有两个方面：策略与公平性而策略的研究又引出了博弈论 这两个例子说明，通过数学的分析纠正观念和直觉上的误解和遮蔽，是一种用数据和事实进行问题探究的记性的
13、科学态度和方法,数学为什么在社会科学中具有如此广泛的应用， 现代数学的特征有： 泛函性；大范围分析；非线性、高维空 间、不确定性和抽象化； 社会科学的特征有： 非几何性，因而具有非点式、非局部的和抽象 的特征； 社会科学的映射具有拓扑特征和泛函性； 社会科学的横断性、综合性特征（或说对于自 然科学的“对偶性”特征）,从社会的治理和经济、管理等科学来看，它更具有典型的综合性、横断性特征而管理的首要特征即全局性，是对其管辖对象的全局考察、综合分析和全局决策管理科学所依据的理论基础不是独立的，它是综合运用自然科学和社会科学广泛成果而成的，所以管理科学堪称典型的横断科学没有独立的基础理论学科正是管理科
14、学的特征所在，也就是它的横断性、综合性、对偶性特征的必然反映因此，社会科学的基本特征乃至整个社会的基本特征与现代数学的基本特征有着何等的相似,今天社会科学与数学的关系，正好似19世纪生物学与数学的关系19世纪“数学在生物学中为0（恩格斯语）”，曾几何时，现在业已翻了个转比如数学在分子生物学、基因理论、生态学、酶动力学、生物动力学、药代动力学、生理医学等等好多方面都有了很好的“联姻”，且其发展正处在逻辑斯谛曲线的陡增阶段那么，也许不久的将来，社会科学上的突破也将产生对数学的迫切要求同时，根据上述分析可以肯定，到那时社会科学对数学产生的要求，至少将是现代的非几何空间的全局性、综合性、抽象性、泛函性
15、、代数性的高深数学,二 、 数学与哲学 我们知道，“哲学是关于世界观的学问”，是一切科学的认识论、方法论基础。 有一位哲学家说过“哲学与数学之间的交互影响是人类文化中最深刻的部分”、 “没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而没有两者，人们什么也看不透” 我们从一下几个方面讨论数学与哲学的联系。,“哲学说”的意思是说数学是一种哲学，此说源于古希腊的亚里斯多德、欧几里得等人。亚里斯多德曾说：“新的思想家把数学同哲学看作是相同的”。的确，古希腊的哲学家与数学家基本上就是同一群体。 牛顿在自然哲学的数学原理的序言中说，他把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范
16、围内尽量把数学问题呈现出来”。 的确，哲学研究最广泛的事物，数学也研究最广泛的事物，这是它们的共同点。 但是，哲学和数学的研究对象、研究方法都不同，因此两者是“相似而不相同”，不能取代。,有人总结说：“哲学从一门科学中退出，意味着这门科学的建立；而数学进入一门科学，就意味着这门科学的成熟”。这倒是对数学与哲学的真知灼见。 哲学家迪莫林（B.Demollins）说：“没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，我们无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透”。 哲学系的“逻辑学”与数学系的“数理逻辑”，在名称、历史渊源和内容上都有密切联系。 康德说：“一切学科都比哲学有用，但只有哲学才是最自由的学科”，有位数学家说过：“数学的本质在于充分思考的自由”可见多么相似。,1.从历史的渊源看数学与哲学 （1）古希腊哲学与数学 古希腊哲学家泰勒斯（Thales，前624前547）为首的爱奥尼亚学派在数学上开了逻辑证明的先河，他们以逻辑证明的手段，确立了第一批
