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1、1,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,2,2.2.1 综合法和分析法,3,综合法,4,引例：四边形ABCD是平行四边形， 求证：AB=CD，BC=DA,证明 连结AC，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB/CD，BC/DA,又AC=CA,故 AB=CD，BC=DA,本题条件,已知定义,已知定理,已知公理,本题结论,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法),5,从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这
2、种证明方法叫做综合法(顺推证法),用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,特点:“由因导果”,6,例1:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0 所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0 所以b(c2+a2) 2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,7,符号语言,图形语言,文字语言,学会语言转换,找出隐含条件,例2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,8,分析法,9,分析基本不等
3、式：,证明:要证,只需证,只需证,只需证,因为 成立,所以 成立,(a0,b0)的证明.,10,从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法,特点：,这个明显成立的条件可以是：,已知条件、定理、定义、公理等,执果索因,即：,要证结果Q，只需证条件P,11,解:要证,只需证,展开,只需证,只需证 2125,因为 2125成立,所以 成立.,12,分析基本不等式： (a0,b0)的证明.,证明:要证; 只需证; 只需证; 只需证; 因为; 成立 所以 成立,还原成综合法：,13,例2.如图,S
4、A平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证明:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以. AFSC成立,14,例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab, 试证： s 2a,解:欲证s2a,只需证,即证bs,也即证,即证ba+c,因为a,b,c为一个三角形的三边,所以ba+c成立.,故s2a成立.,15,例3.ABC三边长,的倒数成等差数列，求证：,.,证明：,因为a,b,c为ABC三边,所以 a + c b,所以 cosB0,因此,16,证:,17,18,用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:,19,小结,1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,20,3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点.,
