弯曲应力解析课件

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1、第六章 弯曲应力,材料力学,61 概述 62 梁在平面弯曲时横截面上的正应力 63 梁的正应力强度条件 64 弯曲剪应力 65 梁的剪应力强度校核 66 非对称截面梁的平面弯曲弯曲中心 67 提高弯曲强度的措施 本章习题,第六章 弯曲应力,平面弯曲的分类：,横力（剪切）弯曲（transverse bending） (AC、DB段) ： FS、M同时存在。,纯弯曲(pure bending) (CD段)： FS=0，M=const0,弯曲应力,6-1 概述,弯曲应力,一、纯弯曲时的正应力,纵线（aa、bb）：变为曲线，凹侧缩短，凸侧伸长。,横线（mm、nn）：仍为直线，发生了相对转动，仍与变形之

2、后的梁轴线垂直。,6-2 梁在平面弯曲时横截面上的正应力,中性层(neutral surface) ：中间既不伸长亦不缩短的一层纤维。,中性轴(neutral axis) ：中性层与梁横截面的交线，垂直于梁的纵向对称面。（横截面绕中性轴转动）,平面假设(plane assumption) ：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后的梁轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。,单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。,弯曲应力,拉伸区,压缩区,式(1)表明线应变与它到中性层的距离 y 成正比。,O,O,(1),曲率,（一）变形几何关系,弯曲应力,(1),（二）物理关系：,在中性轴上：

3、y =0， =0。,说明：式 (1) 由平面假设和几何条件推得，与梁的材料性质无关，故不论材料的应力、应变关系如何，此式均适用。,弯曲应力,(2),(三)静力学关系：,弯曲应力,轴线在中性层内，其长度不变。x 轴与轴线重合。,(2),EIz梁的抗弯刚度,M,M,y,O,z,x,弯曲应力,(2), 适用条件：平面假设；单向受力假设； 服从虎克定律； 拉伸与压缩时的弹性模量相等。,符号：拉为正，压为负。, 只要梁有一纵向对称面，且荷载作用在这个平面内，公式 (3)、(4) 就可适用。,(3),弯曲应力,（四）最大正应力：,抗弯截面模量,（section modulus in bending）,二、

4、 横力弯曲时的正应力,弯曲应力,对于跨高比 l/h5 梁，剪力FS的影响很小，可推广使用纯弯曲梁的正应力公式。,横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。,梁的横截面不对称于 z 轴(中性轴)：,例6-1 受均布载荷作用的简支梁如图，试求： （1）1-1截面上1、2两点的正应力； （2）1-1截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。,解：画M图：,弯曲应力,求应力,弯曲应力,求曲率半径,67.5,60,(kNm),M,弯曲应力,例6-2 钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量E=200GPa。求当钢板尺弯成 /3圆弧时，钢板尺内的

5、最大正应力。,解：,例6-3如图所示圆轴，在A、B两处的轴承可简化为铰支座，轴的外伸部分是空心圆轴。试求轴内的最大正应力。,(2)计算抗弯截面模量,实心圆轴Wz ：,危险截面可能在C、B截面,A,B,C,5kN,3kN,400,300,1000,60,43,空心圆轴Wz：,弯曲应力,(3)计算最大正应力,C截面的最大正应力：,B截面的最大正应力：,轴的最大正应力发生在B截面处，其值为57.7MPa。,A,B,C,5KN,3KN,400,300,1000,60,43,最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上。,RA,RB,弯曲应力,弯曲应力,设材料的弯曲许用正应力为,强度校核:,载荷设计:,截

6、面设计:,6-3 梁的正应力强度条件,例6-4 T形截面铸铁梁，许用拉应力+=30MPa，许用压应力为-=60MPa。已知中性轴位置 y1=52mm，截面对z轴的惯性矩 Iz764cm4。试校核梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,RA2.5 kN RB 10.5 kN 向上,危险截面可能在B 、 C截面。,A,B,C,9kN,4kN,1m,1m,1m,z,y1,y,80,120,20,y2,20,解：(1) 绘制弯矩图,弯曲应力,4kNm,(2)强度校核,校核B：,校核C：,故满足强度条件。,(3) T形梁正放合理,弯曲应力,(),B,C,弯曲应力,解：(1)杠杆设计：,弯曲应力,(2)销

7、钉设计：,弯曲应力,一、矩形截面梁的弯曲剪应力,1弯曲剪应力分布假设,(1) 方向均与剪力FS的方向平行,(2) 沿矩形截面的宽度均匀分布,FS,弯曲应力,2弯曲剪应力公式的推导,6-4 弯曲剪应力,为距中性轴为y 的dd1横线以下(或以上)的面积对中性轴 z 的静矩。,F,FN2,FN1,弯曲应力,d,c,d1,m,n,n1,F,FN2,FN1,剪应力互等定理：,b 所求剪应力处横截面的宽度；,Sz*为距中性轴为y 的横线以下(或以上)的面积对中性轴 z 的静矩。,dx,b,弯曲应力,y,3剪应力沿截面高度的变化规律,y =0，中性轴上 ：,弯曲应力,二、圆形截面梁的弯曲剪应力,(1) ab

8、 弦上各点的剪应力都汇交于D点； (2) ab 弦上各点剪应力的垂直分量y 为常量,1弯曲剪应力分布假设,FS,为 ab 弦的长度；,Sz*为 ab 弦以上的面积对中性轴 z 的静矩。,y =0：,弯曲应力,三、薄壁截面梁的弯曲剪应力,弯曲剪应力分布的假设： (1) 剪应力与截面的周边相切， (2) 剪应力沿壁厚为常量。,薄壁截面的中线：截面各处壁厚中点的连线。,弯曲应力,1. 工字形截面,(1)腹板部分的剪应力,腹板：承担大部分剪力，且剪应力接近于均匀分布。,(2)翼缘上的剪应力：很小，不计。承担大部分弯矩。,剪应力流：剪应力顺着一个转向流动。,z,y,O,h,y,b,b0,h0,弯曲应力,

9、2. 薄壁圆环,弯曲应力,3. 槽钢,弯曲应力,等截面杆：剪应力的最大值总是发在横截面的中性轴上,Sz max*为中性轴以下（或以上）的面积对中性轴的静矩。, 梁的跨度较短，M 较小，而FS 较大时； 腹板厚度较小的薄腹截面梁； 铆接或焊接的组合截面梁。,需要校核剪应力的几种特殊情况：,6-5 梁的剪应力强度校核,解：画内力图,弯曲应力,例6-7矩形截面木梁，=7MPa，=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,4050Nm,5400N,5400N,弯曲应力,8kN,2m,2m,解：(1)正应力强度条件,(2)剪应力强度条件,弯

10、曲应力,b=90,h,P,l,l,解：,弯曲应力,一、非对称截面梁的平面弯曲,y 轴或 z 轴和轴线所确定的平面为形心主惯性平面。,6-6 非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心,弯曲应力,二、非对称开口薄壁截面梁的弯曲中心,y,O,A,弯曲中心(剪切中心)（shearing center）:剪力作用线通过的点，亦即使杆不发扭转的横向力作用点。,非对称开口截面梁发生平面弯曲的条件：外力通过弯曲中心，且平行于主形心惯性面。,弯曲中心的确定:,(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。,(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。,(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。,弯曲应力,一、选择和

11、设计合理截面,弯曲正应力强度条件：,1.根据截面的几何性质选择合理的截面形状,选择截面的原则（安全而经济）：,选择W/A较大的截面,弯曲应力,6-7 提高弯曲强度的措施,(1)塑性材料:,宜选对中性轴对称的截面形状,2. 根据材料的特性选择截面形状,(2)脆性材料：,且使离中性轴较远的边缘放在受压侧,宜选以对中性轴非对称的截面形状,弯曲应力,二、改善梁的受力情况,1. 合理安排梁的约束，减小梁跨。,弯曲应力,2. 改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。,弯曲应力,三、采用变截面梁或等强度梁,等强度梁：,弯曲应力,一、选择题,1、梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ ）旋转。 A、梁的轴线； B、截

12、面对称轴； C、中性轴； D、截面形心。,2、几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根为钢材。若两根梁受力状态也相同，则它们的 。 （A）弯曲应力相同，轴线曲率不同。 （B）弯曲应力不同，轴线曲率相同。 （C）弯曲应力和轴线曲率均相同。 （D）弯曲应力和轴线曲率均不同。,C,A,本 章 习 题,弯曲应力,3、当横向力作用于杆件的纵向对称面内时，关于杆件横截面上的内力与应力有以下四个结论。其中 错误的是 。 （A）若有弯矩M，则必有正应力 。 （B）若有正应力，则必有弯矩M 。 （C）若有弯矩M，则必有剪应力 。 （D）若有剪力FS，则必有剪应力 。,C,弯曲应力,5、梁在横向力作用下发生平面

13、弯曲时，横截面上最大正应力点和最大剪应力点的应力情况是（ ）。 A、最大正应力点的剪应力一定为零，最大剪应力点的正应力不一定为零； B、最大正应力点的剪应力一定为零，最大剪应力点的正应力也一定为零； C、最大剪应力点的正应力一定为零，最大正应力点的剪应力不定为零； D、最大正应力点的剪应力和最大剪应力点的正应力都不一定为零。,A,弯曲应力,6、下列结论中不正确的是 。 A、中性轴是中性层与横截面的交线； B、中性轴一定是形心主惯性轴； C、形心主惯性轴一定是中性轴； D、中性轴是通过形心而且与位于荷载平面内的形心主惯性轴相垂直的那根形心主惯性轴。,7、现有截面相同的钢梁和木梁，其支承条件和荷载

14、情况完全相同。则下列结论中正确的是 。 A、梁的内力情况不相同； B、梁的应力情况相同； C、梁的强度条件相同； D、梁的承载能力相同；,C,B,弯曲应力,8、等强度梁的截面尺寸 。 （A）与载荷和许用应力均无关。 （B）与载荷无关，而与许用应力有关。 （C）与载荷和许用应力均有关。 （D）与载荷有关，而与许用应力无关。,9、在厂房建筑中使用的“鱼腹梁”实质上是根据简支梁上 而设计的等强度梁。 （A）受力集中，截面宽度不变。 （B）受力集中，截面高度不变。 （C）受均布载荷，截面宽度不变。 （D）受均布载荷，截面高度不变。,C,C,弯曲应力,弯曲应力,二、计算题,1、两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 F1F2？,F,F1,F2,b,b,h,h,z,z,解：（1）竖放时：,（2）横放时：,F,F1,F2,b,b,h,h,z,z,2、主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,弯曲应力,l/2,l/2,a/2,a/2,F,A,B,C,D,解：,