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1、广东省梅县东山中学2012届高三数学上学期期中试题 理【会员独享】20112012 广东梅县东山中学高三上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知函数的定义域为，函数的定义域为，则= ( )ABCD2若向量满足，且，则 ( )A4 B3 C2 D03已知，则的值为 ( )A B C D4将函数的图象向右平移个单位后，其图象的一条对称轴方程为 ( )A B C D5若函数，则 ( )A B C2 D6若，则 ( )A B C D7对于任意，函数的值恒大于零，那么的取值范围是 ( )A B C D8函数
2、的定义域为，对任意，则的解集为 ( )A（，1） B（，+） C（，）D（，+）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9若，则 10在ABC中，已知，则角A的值为 11函数的图象在处的切线方程为 12若不等式与不等式的解集相同，则 13已知函数有零点，则实数的取值范围是 14设函数由方程确定,下列结论正确的是 (请将你认为正确的序号都填上)是上的单调递减函数；对于任意，恒成立；对于任意，关于的方程都有解；存在反函数，且对于任意，总有成立三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15(本小题满分12分)在中，分别是三个内角，的对边若，（1）求
3、角的余弦值；（2）求的面积16(本小题满分12分)已知,命题实系数一元二次方程无实根；命题存在点同时满足且试判断：命题p是命题q的什么条件(充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要条件)？请说明你的理由17(本小题满分14分)已知函数(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)当，且时，函数的值域为，求，的值18(本小题满分14分)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端
4、点设(1)某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值19(本小题满分14分) 已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(3)若函数的最小值为，m，n为定义域A中的任意两个值，求证：20(本小题满分14分) 对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，.特别地，当时，称b能整除a，记作，已知(1)存在，使得，试求，的值；(2)求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；(3)若，(指集合B中的元素的个数)，且存在，则称为“和谐集”.求最大的，使
5、含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由20112012年度广东梅县东山中学高三上学期期中考试数学试题答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满40分）题号12345678答案CDAACDBB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9 3 10 11 12 13 14三、解答题（本大题共6小题，满分80分）15(本小题满分12分)解：(1)由题意，得； 4分(2)由(1)得，由得由正弦定理得, 故的面积是 12分16(本小题满分12分)解： 若命题p为真，可得 4分若命题q为真，可知圆和圆有交点，于是由图形不难得到，若令集合，集合， 9分可知集合A和
6、集合B之间互不包含，于是命题p是命题q的既不充分也不必要条件. 12分17(本小题满分14分)解：(1) 5分若, 则由， 得，时，的单调递增区间为 9分 由得 又 依题意，得解得 故， 14分18(本小题满分14分)解：(1)根据题意有 所以x=15cm时包装盒侧面积S最大. 6分(2)根据题意有，所以，；当时，当时， 所以，当x=20时，V取极大值也是最大值. 此时，包装盒的高与底面边长的比值为答:当x=20(cm)时包装盒容积V（cm）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为. 14分19(本小题满分14分)解：(1) 令得当时， 函数在区间上单调递增；当时， 若，则；若，则函数在区间上单
7、调递减，在区间上单调递增.综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 4分(2)由(1)知，当时，函数至多有一个零点，不符合题意，又由(1)知，若，则函数在处取得极小值函数有两个零点 解得 a的取值范围是 8分(3) 由(1) (2)知，当时，函数无最小值；当时，对于且，有 10分不妨设，则，令，则设则 当且仅当时取“=”所以函数在上单调递增，故时，又， 即所以 14分20(本小题满分14分)解：(1)因为，所以. 2分(2)证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. 设，由已知，由于，所以. 不妨令，这里，且，同理，且，因为只有三个元素，所以.即，
8、但是，与已知矛盾.因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. 8分(3)当时，记，记M N则，显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此.下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设，若中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.现考虑都不属于集合，构造集合，.以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7. 14分5 / 5
