《【4年真题推荐】2010-2013年全国高考数学试题分类汇编：数列--》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【4年真题推荐】2010-2013年全国高考数学试题分类汇编：数列--（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网2010数列1.（2010天津高考理科6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为( )（A）或5 （B）或5 （C） （D）【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式【思路点拨】求出数列的通项公式是关键【规范解答】选C设，则，即，2.（2010天津高考文科5）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和记设为数列的最大项，则= 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识【思路点拨】化简利用均值不等式求最值【规范解答】当且仅当即，所以当n=4，即时，最大【答案】43.（2010安徽高考理科20）设数列中的每
2、一项都不为0 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，可采用数学归纳法或综合法【规范解答】已知数列中的每一项都不为0，先证若数列为等差数列，设公差为，当时，有，即对任何，有成立；当时，显然也成立再证对任意，有，由-得：-上式两端同乘，得，同理可得，由-得：，所以为等差数列 【方法技巧】1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的
3、n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.4.（2010山东高考理科18）已知等差数列满足：，的前n项和为21世纪教育网（1）求及；（2）令 (nN*)，求数列的前n项和 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力. 【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法. 【规范解答】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=.（2）由（1
4、）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=.【方法技巧】数列求和的常用方法：1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比的讨论.2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).5.（2010安徽高考文科21）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都
5、在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(1)证明：为等比数列；21世纪教育网（2）设，求数列的前项和. 【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力 【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，可证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后采用错位相减法求和. 【规范解答】21世纪教育网又21世纪教育网，【方法技巧】1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的
6、n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等 ，转化为常见的类型进行求和21世纪教育网6.（2010江苏高考9）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列21世纪教育网（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力【思路点拨】（1）先求，然后利用的关系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解决【规范解答】（1）由
7、题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形故所求（2）（方法一）， 恒成立 又，故，即的最大值为（方法二）由及，得，于是，对满足题设的，有所以的最大值另一方面，任取实数设为偶数，令，则符合条件，且于是，只要，即当时，所以满足条件的，从而因此的最大值为来源:21世纪教育网 7.（2010天津高考文科22）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（）证明成等比数列；（）求数列的通项公式；（）记，证明.【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法【思路点拨】（）（）应用
8、定义法证明、求解；（）对n分奇数、偶数进行讨论【规范解答】（I）由题设可知，。从而，所以，成等比数列（II）由题设可得所以 .由，得 ，从而.所以数列的通项公式为或写为，（III）由（II）可知，以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m若，则，若，则21世纪教育网 .21世纪教育网所以，从而（）当n为奇数时，设21世纪教育网所以，从而综合（1）和（2）可知，对任意有2011数列一、选择题1.（2011江西高考理科5） 已知数列的前项和满足：+=，且=1，那么=( )21世纪教育网A.1 B.9 C.10 D.55【思路点拨】【精讲精析】选A.2.（2011安徽高考文科7）若数列
9、的通项公式是n=(-1)n(3-2),则 （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15【思路点拨】观察数列的性质，得到【精讲精析】选A. 故二、填空题3.（2011江苏高考13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是_【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q满足的关系式，求得其最小值。【精讲精析】答案：由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。4.（2011浙江高考文科17）若数列中的最大项是第项，则=_.【思路点拨】可由不等式组解得.【精讲精析】答案：4设最大项为第项，则由不等式组得,即,解得,
10、故.三、解答题5.（2011安徽高考理科18）在数1和100之间插入个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作，再令，（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.【精讲精析】（）设这+2个数构成的等比数列为，则，则，又所以 （）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得 所以6.（2011江苏高考20）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数nk时，都成立（1）设M=1，求的值；（2）设M=3，4，求数列
11、的通项公式。【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的的转化从中找到解决问题的规律。【精讲精析】由题设知，当时，即，从而，又，故当时，所以的值为8.(2) 由题设知, 当,且时，且，两式相减得，即，所以当时，成等差数列，且也成等差数列，从而当时， ，且。 所以当时，即，于是，当时，成等差数列，从而，故由式知，即，当时，设，当时，从而由式知，故，从而，于是。因此，对任意都成立。又由（可知，故且。解得，从而，。因此，数列为等差数列，由知，所以数列的通项公式为。7.（2011新课标全国高考理科17）等比数列的各项均为正数，且（)求数列的通
12、项公式；（）设 求数列的前n项和.【思路点拨】第（1）问可由，联立方程组求得和公比，从而求得的通项公式.第（2）问中，需先利用对数的性质化简，再用裂项相消的方法求数列的前项和.【精讲精析】（）设数列的公比为q，由得所以.由条件可知,故.由得，所以.故数列的通项式为=.（）.故,.所以数列的前n项和为.8.（2011新课标全国高考文科17）已知等比数列中，公比.（I）为的前项和，证明：（II）设，求数列的通项公式.【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出然后证明等式成立；（2）利用对数的性质化简，即得的通项公式.【精讲精析】（I），（II）.数列的通项公式为=.9.（2011广东
13、文科T20）设b0，数列满足a1=b,.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n， b+1【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）【解】由已知得，当时，上式变形为：，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：，解得；当时，有，即是首项公差均为1的等差数列，则.综上所述.（2）【证明】方法一：当只需综上所述方法二：由（1）及题设知: 当时，+1=2=2；当时，而，即2，又，.综上所述，对于一切正整数有.10.（2011广东高考理科20）设数列满足.求数列的通项公式；证明：对于一切正整数n,【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.，或用猜想证明的方法解决.（2）利用均值不等式证明.【精讲精析】（1）方法一：由已知得，两边同除以，整理得，当时有： （）令，则是以为首项，为公比的等比数列.由等比数列通项公式得，即从而.当时，有，即是首项与公差均为的等差数列，从而有，得.综上所述方法二：（）当时，是以为首项，为公差的等差数列，即，21世纪教育网（）当时，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，猜想显然成立；假设当时，
