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1、学 海 无 涯 一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量的分布列为,则称E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+为的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若=a+b(a、b 为常数)，则也是随机变量，且E=aE+b。E(c)= c 特别地，若 B(n，P)，则 E=nP 2、 方差、标准差定义： D=(x1-E)2P1+(x2-E)2P2+(xn-E)2Pn+称为随机变量的方差。,D的算术平方根,D =叫做随机变量的标准差。,随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a+b)=a2D
2、,可以证明 D=E2- (E)2。 若B(n，p)，则 D=npq，其中 q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布 列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运 算速度和准确度。 考点一 期望与方差,5,1 例 1：设随机变量 具有分布 P( k) ，k1,2,3,4,5，求 E ( 2)2， D(2 1) ，,(1) 例 2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责， 政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数 如下：,其中 和 分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉
3、强度，在使用时要求抗拉强度不低于 120 的 条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好 考点二 离散型随机变量的分布、期望与方差 例 3：如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落到 A 或 B 或 C。已 知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球 方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设为 1，2，3 等奖。 （）已知获得 1，2，3 等奖的折扣率分别为 50%，70%，90%。记随机变量 为获得 k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量 的分布列及期望E ； （）若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量为获
4、 得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P( =2).,1,学 海 无 涯,4,2、某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、 5 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p ， q ( p q )，且不同课程是否取得优秀成绩相,互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为,()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；()求 p ，q 的值；()求数学期望 E 。 开锁次数的数学期望和方差 例 有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试 开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数 的数学期望和方差
5、,次品个数的期望 例某批数量较大的商品的次品率是 5，从中任意地连续取出 10 件， 为所含次品 的个数，求 E ,根据分布列求期望和方差 例设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求 q 值，并求 E、D ,2,产品中次品数分布列与期望值,3,学 海 无 涯 例一批产品共 100 件，其中有 10 件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选 取 5 件，求在抽取的这 5 件产品中次品数分布列与期望值，并说明 5 件中有 3 件以上（包括 3 件）为次品的概率（精确到 0001） 评定两保护区的管理水平 例甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致 相等而两个保
6、护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区：,乙保护区：,试评定这两个保护区的管理水平 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差 例 某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一 组的练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中 一次，并且已知他射击一次的命中率为 0.8，求在这一组练习中耗用子弹数 的分布列，并 求出 的期望 E 与方差 D （保留两位小数） 准备礼品的个数 例 某寻呼台共有客户 3000 人，若寻呼台准备了 100 份小礼品，邀请客户在指定时间 来领取假设任一客户去领奖的概率为 4问
7、：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？ 若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？,4,学 海 无 涯,学 海 无 涯 分析：求 P( k) 时，由题知前k 1次没打开，恰第 k 次打开不过，一般我们应从简单 的地方入手，如 1,2,3，发现规律后，推广到一般 解： 的可能取值为 1，2，3，n, 1 ;,11 n 1 n 2 1,nn 1n 2nn 1 n 2n, 1 ;,1 n 1 1,nn 1nn 1n,P( 3) (1 1 ) (1) ,n P( 2) (1 1 ) ,P( 1) 1 ,) ,n k 2 n k 1nn 1 n 2n k 2 n k 1n,111 n 1
8、n 2 n 3 n k 1 1 1,P( k) (1 1) (1 1 ) (1)(1,nn 1n 2 ；所以 的分布列为：,11,1,1n 1,n2,nnn,E 1 2 3 n ,；,2n,2n,2n2n,2n,2,2,2,2,2,n 11,n 11,n 11,n 11,n 11, (k ) (n ) ,D (1) (2 ) (3 ), ,n ,22222,2,n 1,1 ,(1 2 3 n ) (n 1)(1 2 3 n) () n,2412,5, , 1 1,n(n 1)2n(n 1)2 n2 1,n 6 n(n 1)(2n 1) ,分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是 0.
9、05， 可能取值是：0，1， 2，1010 次抽取看成 10 次独立重复试验，所以抽到次品数 服从二项分布，由公式 E np 可得解 解：由题， B10,0.05，所以 E 100.05 0.5 说明：随机变量 的概率分布，是求其数学期望的关键因此，入手时，决定 取哪些,kk10k,10,值及其相应的概率，是重要的突破点此题 P( k) C (0.05) (1 0.05)，应觉察,到这是 B10,0.05,学 海 无 涯 分析：根据分布列的两个性质，先确定 q 的值，当分布列确定时， E、D 只须按定 义代公式即可 解： 离散型随机变量的分布满足 （1） Pi 0,i 1,2,3, （2） P
10、1 P2 P3 1.,2,q 2 1.,所以有 0 1 2q 1,1 1 2q q 2 1,1 . 2,解得q 1, 故 的分布列为,2 , 2, E (1) 1 0( 2 1) 1 3 ,22,2 1 3 2 12.,2 , 2,2,D 1 (1 2)2 1 (1 2)2 ( 2 1) 1 (1 2)2 3 ,2 , 2,2, ( 2 2)2 1 ( 2 1)3 2 3 , 3 2 2 2 2 6 3 2 1 3 2 2 2 1. 小结：解题时不能忽视条件 P( ki ) pi 时， 0 pi 1， i 1,2, 否则取了q 1 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算 分析：根据题意
11、确定随机变量及其取值，对于次品在 3 件以上的概率是 3，4，5 三种情 况的和 解：抽取的次品数是一个随机变量，设为 ，显然 可以取从 0 到 5 的 6 个整数 抽样中，如果恰巧有k 个（ k 0,1,2,3,4,5）次品，则其概率为,6,100,C 5,学 海 无 涯 C k C 5k,P( k ) 1090,按照这个公式计算，并要求精确到 0001，则有,P( 2) 0.070, P( 5) 0.,P( 0) 0.583,P( 1) 0.340, P( 3) 0.07,P( 4) 0, 故 的分布列为,E 00.58310.340 20.070 30.007 40 50 0.501.
12、由分布列可知， P( 3) 0.007 0 0, P( 3) 0.007. 这就是说，所抽取的 5 件品中 3 件以上为次品的可能性很小，只有 7 分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数 学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小（当然，亦可计算 其标准差，同样说明道理） 解：甲保护区的违规次数1 的数学期望和方差为： E1 00.3 10.3 20.2 30.2 1.3; D1 (0 1.3) 0.3 (1 1.3) 0.3 (2 1.3) 0.2 (3 1.3) 0.2 1.21; 2222 乙保护区的违规次数2 的数学期望和方差为：
13、E2 00.110.5 20.4 1.3; D2 (0 1.3) 0.1 (11.3) 0.5 (2 1.3) 0.4 0.41 ； 222 因为 E1 E2 , D1 D2 ，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的， 但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动 （标准差1 D 1 1.1,2 D2 0.64 这两个值在科学计算器上容易获得， 显然，1 ） 说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够 的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的 取值如何在均值周期变化，即计算其方差
14、（或是标准差）方差大说明随机变量取值分散性,7,8,学 海 无 涯 大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解 解： 该组练习耗用的子弹数 为随机变量， 可以取值为 1，2，3，4，5 1，表示一发即中，故概率为 P( 1) 0.8; 2，表示第一发未中，第二发命中，故 P( 2) (1 0.8)0.8 0.20.8 0.16; 3，表示第一、二发未中，第三发命中，故 P( 3) (1 0.8)2 0.8 0.22 0.8 0.032; 4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故 P( 4) (1 0.8)3 0.
15、8 0.23 0.8 0.0064 5，表示第五发命中，故 P( 5) (1 0.8)4 1 0.24 0.0016 . 因此， 的分布列为,E 10.8 20.16 30.032 40.0064 50.0016 0.8 0.32 0.096 0.0256 0.008 1.25, D (11.25)2 0.8 (2 1.25)2 0.16 (3 1.25)2 0.032 (4 1.25)2 0.0064 (5 1.25)2 0.0016 0.05 0.09 0.098 0.0484 0.0225 0.31. 说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解 对应的概
16、率 分析：可能来多少人，是一个随机变量 而 显然是服从二项分布的，用数学期望来 反映平均来领奖人数，即能说明是否可行 解：设来领奖的人数 k,(k 0,1,2,3000)，所以,k,3000,P( k ) C(0.04)k (1 0.04)30000k ， 可 见 B30000,0.04 ， 所 以 ，,9,学 海 无 涯 E 30000.04 120（人） 100 （人） 答：不能，寻呼台至少应准备 120 份礼品 说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题数字期望反 映了随机变量取值的平均水平用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题 中有重要的价值因此，要想到用期望来解决这一
