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1、学 海 无 涯 第十二节 导数的应用(一) 时间：45 分钟分值：75 分 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1函数 f(x)xelnx 的单调递增区间为( ),A(0，) C(，0)和(0，),B(，0) DR,x,解析函数定义域为(0，)，f(x)1e0，故单调增区间,是(0，) 答案A,2,2设函数 f(x)xlnx，则( ),1,Ax2为 f(x)的极大值点,1,x2为 f(x)的极小值点 x2 为 f(x)的极大值点 x2 为 f(x)的极小值点 解析函数 f(x)的定义域为(0，)，,21,x2,f(x)x2x x2 ，,1,当 x2 时，f(x)0；
2、当 x2 时，f(x)0，函数 f(x)为增函数；,当 0x2 时，f(x)0，函数 f(x)为减函数， 所以 x2 为函数 f(x)的极小值点,学 海 无 涯,答案D,3(2013浙江卷)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一， 且其导函数 yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是( ),解析由导函数的图象可知，原函数单调递增，且切线的斜率由 小到大再变小，故只有选项 B 满足 答案B,2,4(2013大纲全国卷)若函数 f(x)x2ax,1(1,x在 2，,)上是增,函数，则 a 的取值范围是( ) A1,0 C0,3,B1，) D3，),3,学 海 无 涯 解析由 f(x)x2
3、ax1在 1，)上为增函数，得 f(x)2x x(2,x2x2,( 11 a 1 0 在 1，)上恒成立，即 a2x 在( ，)上恒成立， 22,x2,令 g(x) 1 2x(x ) 2,x3,1 ，g(x) 2 20，故 g(x)在 1，)上为减 (2,1 函数，所以 ag(2)3.故选D. 答案D 5(2013浙江卷)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x 1)k(k1,2)， 则 ( ) 当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值 当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值 当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值
4、 解析当 k1 时，f(x)(ex1)(x1)，f(1)xex1，x1 不 是 f(x)0 的根，所以不是极值点，排除 A、B；当 k2 时，f(x) (ex1)(x1)2，f(x)(x1)(xexex2)，当 x1 时 f(x)0 且 x1 时 f(x)0，结合选项，故选 C. 答案C 6(2013湖北卷)已知函数 f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实 数 a 的取值范围是( ),1,A(，0)B.0，2,C(0,1)D(0，),4,学 海 无 涯,1,解析f(x)lnxaxxxalnx2ax1，假设函数 f(x)只,有 1 个极值点，则方程 lnx2ax10(x0)只有一根，数形结合
5、，即 直线 y2ax1 与曲线 ylnx 相切设切点为(x0，lnx0)，则切线方程,00,x0 x0,0,为 ylnx 1 (xx )，即 y 1 xlnx 1.又切线方程为 y2ax1，,对比得,x0,2a 1 ，,1,解得 a2，x01.故若要使直线 y2ax1,1lnx01， 与曲线 ylnx 相交，即函数 f(x)x(lnxax)有 2 个极值点，需满足,1,0a2. 答案B 二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7已知函数 f(x)x3ax24 在 x2 处取得极值，若 m 1,1，则 f(m)的最小值为 解析求导得 f(x)3x22ax，由 f(x)在
6、x2 处取得极值知,f(2)0，即342a20，故 a3.由此可得 f(x)x33x2 4，f(x)3x26x.由此可得 f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上 单调递增，所以对 m1，1时，f(m)minf(0)4. 答案4 8已知函数 f(x)x3mx2(m6)x1 既存在极大值又存在极 小值，则实数 m 的取值范围是 解析f(x)3x22mxm60 有两个不等实根，即 4m2,学 海 无 涯 12(m6)0.所以 m6 或 m3. 答案(，3)(6，) 9已知函数 f(x)(m2)x2(m24)xm 是偶函数，函数 g(x) x32x2mx5 在(，)内单调递减，则实数m . 解析若
7、 f(x)(m2)x2(m24)xm 是偶函数， 则 m240，m2. 若 g(x)3x24xm0 恒成立，,3,则 1643m0，解得 m4，故 m2.,答案2 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分),1,10已知函数 f(x)ax2blnx 在 x1 处有极值2. 求 a，b 的值； 求函数 yf(x)的单调区间,解(1)f(x)2axb 又 f(x)在 x1 处有极值1 x.2.,得即,22,f11，a1，,f10，2ab0.,2,解之得 a1，b1.,(2)由(1)可知 f(x)1 2lnx，其定义域是(0，)， 2x,1,且 f(x)xx,x1x1,x,.,
8、5,学 海 无 涯 由 f(x)0，得 x1. 所以函数 yf(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，) 11(2013福建卷)已知函数 f(x)xalnx(aR) ()当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程； ()求函数 f(x)的极值 解函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1a x.,()当 a2 时，f(x)x2lnx，f(x)12,x(x0)，,因而 f(1)1，f(1)1， 所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)， 即 xy20.,a,()由 f(x)1x,xa,x,，x0 知：,6,当 a0 时，f(x)0
9、，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa， 又当 x(0，a)时，f(x)0， 从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aalna， 无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；,学 海 无 涯 当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aalna，无极大值. 12(2014石家庄质检)已知函数 f(x)2x33(a1)x26ax(a R) 当 a2 时，求函数 yf(x)的单调区间； 若 a0 时，函数 yf(x)在闭区间0，a1上的最大值为 f(a 1)，求 a 的取值范围 解(1)当 a
10、2 时，f(x)2x39x212x， f(x)6x218x126(x23x2) 6(x1)(x2) 由 f(x)0，得 x1 或 x2. 由 f(x)0，得 1x2. 所以，f(x)的递增区间为(，1)，(2，)，递减区间为(1,2) (2)f(x)6x26(a1)x6a6x2(a1)xa6(x1)(x a) 当 a1 时，f(x)0，f(x)在0，a1上单调递增，最大值为 f(a 1) 当 0a1 时，x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,7,学 海 无 涯,由上表可知，f(x)在0，a1上的最大值只有可能是 f(a)或 f(a 1) 故只需 f(a1)f(a)(a33a23a1)(a33a2)3a 10. 解得 a11a1. 3，此时3 当 a1 时，x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可知，f(x)在0，a1上的最大值只有可能是 f(1)或 f(a 1) 故只需 f(a1)f(1)(a33a2 3a1)(3a1)a3 3a20. 解得 a3，此时 1a3.,8,1,综上，a 的取值范围是3，3.,
