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1、学 海 无 涯,第一章集合与简易逻辑 . 2 第二章函数. 4,第三章数列. 11,第四章三角函数 第五章平面向量,. 15 . 23,第六章不等式. 28,第七章立体几何初步 . 31 第八章直线和圆的方程 . 41 第九章圆锥曲线方程 . 44 第十章导数及其应用 . 49 第十一章统计和概率 . 51 第十二章复数. 60,1,第一章集合与简易逻辑,集合及其运算, 互异性,一集合的概念、分类： 二集合的特征： 确定性 无序性 三表示方法： 列举法 描述法, 图示法, 区间法,学 海 无 涯,集合；包含关系：集合 、 集合,四两种关系： 从属关系：对象 、 五三种运算：,交集： A B x
2、 | x A且x B 并集： A B x | x A或x B 补集： U A x | x U且x A 六运算性质： A A ， A 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 若 A B ，则 AB A ， AB B A （UA） ， A （UA） U ， 痧（UUA） A （痧U A）（ UB） （U AB），（痧U A）（ UB） （U AB） 集合a , a , a , a 的所有子集的个数为 2n ， 所有真子集的个数为 123n 2n 1，所有非空真子集的个数为2n 2 ，所有二元子集（含有两个元素,2,n,的子集）的个数为C 2 ,简易逻辑 一逻辑联结词： 命题是可以判断真假的语
3、句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断 为错误的为假命题 逻辑联结词有“或”、“且”、“非” 不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联 结词构成的命题叫复合命题 真值表：,二四种命题：,学 海 无 涯 原命题：若 p 则q 逆命题：若 P 则 q，即交换原命题的条件和结论； 否命题：若 q 则 p，即同时否定原命题的条件和结论； 逆否命题：若P 则q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定 四个命题的关系： 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真 三充分条件与必要条件 “若 p 则q ”是真命题，记做
4、 p q ， “若 p 则q ”为假命题，记做 p q ， 若 p q ，则称 p 是q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 若 p q ，且 p q ，则称 p 是q 的充分非必要条件； 若 p q ，且 p q ，则称 p 是q 的必要非充分条件； 若 p q ，且 p q ，则称 p 是q 的充要条件； 若 p q ，且 p q ，则称 p 是q 的既不充分也不必要条件 若 p 的充分条件是q ，则q p ； 若 p 的必要条件是q ，则 p q ,第二章函数,指数与对数运算 一分数指数幂与根式： 如果 xn a ，则称 x 是a 的n 次方根，0 的n 次方根为 0，若a 0 ，则当
5、n 为 奇数时， a 的n 次方根有 1 个，记做 n a ；当n 为偶数时，负数没有n 次方根， 正数a 的n 次方根有 2 个，其中正的n 次方根记做 n a 负的n 次方根记做 n a 1负数没有偶次方根；,2两个关系式： ( n a )n a ； n an ,3, an为奇数,| a | n为偶数,学 海 无 涯 m,1,n am,m,3、正数的正分数指数幂的意义： a n n am ； 正数的负分数指数幂的意义： a n ,4、分数指数幂的运算性质：, am an amn ； (am )n amn ；, am an amn ； (a b)m am bm ；, a0 1，其中m 、n
6、均为有理数， a ， b 均为正整数 二对数及其运算 定义：若ab N (a 0 ，且a 1， N 0) ，则b log N a 两个对数： 常用对数： a 10 ， b log10 N lg N ； 自然对数： a e 2.71828 ， b loge N ln N 三条性质： 1 的对数是 0，即loga 1 0 ； 底数的对数是 1，即loga a 1； 负数和零没有对数 四条运算法则：,aaa,a,a,a N, log (MN ) log M log N ； log M log M log N ；,aa,n, log n M 1 log M , log M n n log M ； aa
7、 5其他运算性质： 对数恒等式： aloga b b ；,a,log b, 换底公式： log b logc a ；,c loga b logb c loga c ； loga b logb a 1 ；,a,4,am,m, logbn n log b ,函数的概念 一映射：设 A、B 两个集合，如果按照某中对应法则 f ，对于集合 A 中的任 意一个元素，在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称,学 海 无 涯 为从集合 A 到集合 B 的映射 二函数：在某种变化过程中的两个变量 x 、 y ，对于 x 在某个范围内的每一 个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它
8、对应，则称 y 是 x 的函数，记做 y f (x) ，其中 x 称为自变量， x 变化的范围叫做函数的定 义域，和 x 对应的 y 的值叫做函数值，函数值 y 的变化范围叫做函数的值 域 三函数 y f (x) 是由非空数集 A 到非空数集 B 的映射 四函数的三要素：解析式；定义域；值域 函数的解析式 一根据对应法则的意义求函数的解析式； 例如：已知 f ( x 1) x 2 x ，求函数 f (x) 的解析式 二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式； 例如：已知 f (x) 是一次函数，且 f f (x) 4x 3，函数 f (x) 的解析式 三由函数 f (x) 的图像受制约的条件
9、，进而求 f (x) 的解析式 函数的定义域 一根据给出函数的解析式求定义域： 整式： x R 分式：分母不等于 0 偶次根式：被开方数大于或等于 0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于 0 对数：底数大于 0，且不等于 1，真数大于 0 二根据对应法则的意义求函数的定义域： 例如：已知 y f (x) 定义域为2,5，求 y f (3x 2) 定义域； 已知 y f (3x 2) 定义域为2,5，求 y f (x) 定义域； 三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域 函数的值域 一基本函数的值域问题：,5,学 海 无 涯,6,二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式
10、和定义 域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法 有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单 调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等 反函数 一反函数：设函数 y f (x) (x A) 的值域是C ，根据这个函数中 x ， y 的关 系，用 y 把 x 表示出，得到 x ( y) 若对于C 中的每一 y 值，通过 x ( y) ， 都有唯一的一个 x 与之对应，那么，x ( y) 就表示 y 是自变量，x 是自变 量 y 的函数，这样的函数 x ( y) ( y C) 叫做函数 y f (x) (x A) 的反函 数，
11、记作 x f 1 ( y) ,习惯上改写成 y f 1 (x) 二函数 f (x) 存在反函数的条件是： x 、 y 一一对应 三求函数 f (x) 的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用 y 表示 x ，得 x f 1 ( y) 交换 x 、 y ，得 y f 1 (x) 结论，表明定义域 四函数 y f (x) 与其反函数 y f 1 (x) 的关系： 函数 y f (x) 与 y f 1 (x) 的定义域与值域互换 若 y f (x) 图像上存在点(a,b) ，则 y f 1 (x) 的图像上必有点(b, a) ，即 若 f (a) b ，则 f 1 (b) a ,
12、学 海 无 涯 函数 y f (x) 与 y f 1 (x) 的图像关于直线 y x 对称 函数的奇偶性： 一定义：对于函数 f (x) 定义域中的任意一个 x ，如果满足 f (x) f (x) ，则 称函数 f (x) 为奇函数；如果满足 f (x) f (x) ，则称函数 f (x) 为偶函数 二判断函数 f (x) 奇偶性的步骤： 判断函数 f (x) 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果 不对称； 验证 f (x) 与 f (x) 的关系，若满足 f (x) f (x) ，则为奇函数，若满足 f (x) f (x)，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数 二奇函数
13、的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 三已知 f (x) 、 g(x) 分别是定义在区间 M 、 N (MN ) 上的奇（偶）函 数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性,五若奇函数 f (x) 的定义域包含0 ，则 f (0) 0 六一次函数 y kx b (k 0) 是奇函数的充要条件是b 0 ； 二次函数 y ax2 bx c (a 0) 是偶函数的充要条件是b 0 函数的周期性： 一定义：对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的 每一个值时，都有 f (x T) f (x)，则 f (x) 为周期函数，T 为这个函数的 一个周期 2如果函数 f
14、 (x) 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫 做 f (x) 的最小正周期如果函数 f (x) 的最小正周期为T ，则函数 f (ax) 的,7,学 海 无 涯 最小正周期为 T | a | 函数的单调性 一定义：一般的，对于给定区间上的函数 f (x) ，如果对于属于此区间上的任 意两个自变量的值 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时满足： f (x1 ) f (x2 )，则称函数 f (x) 在该区间上是增函数； f (x1 ) f (x2 )，则称函数 f (x) 在该区间上是减函数 二判断函数单调性的常用方法： 1定义法： 取值； 作差、变形； 判断： 定论： *2导
15、数法： 求函数 f(x)的导数 f (x) ； 解不等式 f (x) 0 ，所得 x 的范围就是递增区间； 解不等式 f (x) 0 ，所得 x 的范围就是递减区间 3复合函数的单调性： 对于复合函数 y f g(x)，设u g(x) ，则 y f (u) ，可根据它们的单调性 确定复合函数 y f g(x)，具体判断如下表：,8,4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同 函数的图像 一基本函数的图像 二图像变换：,学 海 无 涯,9,三函数图像自身的对称,学 海 无 涯,10,四两个函数图像的对称,第三章数列,数列的基本概念 一数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列 的项 二如果数列an中的第n 项an 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其 有限子集的函数解析式 三数列的分类： 按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列 按项数可分为有穷数列和无穷数
