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1、学 海 无 涯,系统抽样（总体个数较多）,第二章：统计 1、抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 分层抽样（总体中差异明显）,注意：在N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为 n 。 N 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布 趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计：,n,平均数： x ,x1 x
2、2 x3 x n,； 取值为 x1 , x2 , xn 的频率分别为 p1 , p2 , pn ， 则其平均数为,x1 p1 x2 p2 xn pn ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。,11,nn,2 2,方差与标准差：一组样本数据 x1 , x2 , xn 方差： s 2 (xi x) ；标准差： s (xi x),n i1n i1 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； 制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程： y bx a （最小二乘法）,2,2,n,n,i1
3、,x y nxy,b i1,x nx,a y bx, , i i, i,注意：线性回归直线经过定点(x, y) 。,第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；,n,随机事件A 的概率： P( A) m ,0 P( A) 1 .,2、古典概型： 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个； 每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，,则事件 A 发生的概率 P( A) m .,1,
4、n 3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。,学 海 无 涯 几何概型概率计算公式： P( A) d的测度 ；,D的测度 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。 4、互斥事件： 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； 如果事件 A1 , A2 , An 任意两个都是互斥事件，则称事件 A1 , A2 , An 彼此互斥。 如果事件 A，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和， 即： P( A B) P( A) P(B) 如果事件 A1 , A2 , An 彼此互斥，则有： P( A1 A2 An ) P(
5、 A1 ) P( A2 ) P( An ) 对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。,事件 A 的对立事件记作 AP(A) P(A) 1, P(A) 1 P(A) 对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。 1、基本概念 互斥事件：不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A、B 是互斥事件时，那么事件 A B 发生（即 A、B 中有一个发生）的概率，等于事件 A、B 分 别发生的概率的和，即 P(A B) P(A) P(B). 对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件 A 的对立事
6、件通常记着 A .对立事件的概率和等于 1. P( A) 1 P( A) . 特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个 事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是 对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件. 相互独立事件：事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件 是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件. 当 A、B 是相互独立事件时，那么事件 A B 发生（即 A、B 同时发生）的概率，等于事件
7、A、B 分别 发生的概率的积.即 P(A B) P(A) P(B). 若 A、B 两事件相互独立，则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. 独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率,P (k) Ck pk (1 p)nk nn,k 0,1, 2,n.,P( A),条件概率：对任意事件A 和事件 B，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记 作 P(B|A)，读作A 发生的条件下 B 发生的概
8、率.公式： P(B A) P( AB) , P( A) 0.,2、离散型随机变量 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量新疆 随机变量常 王新敞 奎屯 用字母 X ,Y, 等表示.,2,学 海 无 涯 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散 型随机变量. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量 表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出
9、，而连续性随机变量的结果不 可以一一列出.,若,X 是随机变量，Y aX b(a,b 是常数）则Y 也是随机变量新疆 并且不改变其属性（离散型、连续型）. 王新敞 奎屯,3、离散型随机变量的分布列 概率分布（分布列） 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ， xi ， xn ， X 的每一个值 xi （ i 1, 2, n ）的概率 P( X xi ) pi ，则称表,n,i1,为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列.性质： pi 0, i 1, 2,.n; pi 1.,两点分布 如果随机变量 X 的分布列为,则称 X 服从两点分布，并称 p P(X 1) 为成功概率
10、. 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 是,n,P( X k ) Ck pk (1 p)nk.,其中k 0,1, 2,., n,q 1 p ，于是得到随机变量 X 的概率分布如下：,我们称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X Bn, p，并称 p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： 对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：即试验是独立重复地进行了n 次; 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是 p, k, n. 超几何
11、分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件,N,Cn,Ck Cnk,X k 发生的概率为 P( X k ) M N M (k 0,1, 2, m) ,于是得到随机变量 X 的概率分布如,3,下：,学 海 无 涯 其中m minM, n , n N , M N , n, M , N N * . 我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 且称随机变量 X 服从超几何分布. 注:超几何分布的模型是不放回抽样； 超几何分布中的参数是 M, N, n. 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方
12、差 离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为,则称 E X x1 p1 x2 p2 ,xi pi ,xn pn 为离散型随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望）.它,反映了离散型随机变量取值的平均水平. 性质： E(aX b) aE(X ) b. 若 X 服从两点分布，则 E(X ) p. 若 X Bn, p，则 E(X ) np. 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为,则称,2,n,i1,ii,D( X ) (x E( X ) p 为离散型随机变量 X 的方差，并称其算术平方根D( X ) 为随机变量 X 的标,准差.它反映了离散型随机变量取
13、值的稳定与波动，集中与离散的程度. D(X ) 越小， X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中； D(X ) 越大， X 的稳定性越差，波动越大， 取值越分散. 性质： D(aX b) a2 D( X ). 若 X 服从两点分布，则 D(X ) p(1 P). 若 X Bn, p，则 D(X ) np(1 P). 5、正态分布,正态变量概率密度曲线函数表达式： f x ,1,2 ,x 2 e 2 2 , x R ，其中 , 是参数，且,4,学 海 无 涯 0, .记作 N (, 2 ). 如下图： 专题八：统计案例 1、回归分析 回归直线方程 y a bx，,2,2,2,n,n,ii,n,n,
14、i,i1,i1,i1,x xy y,x y nx y, b 其中,x x,x nx,a y bx, i i, i i1,2,2,n,i,i,i,i,i1 nn,相关系数： r ,x x,y y, x x y y , i1, i1,22,2,2,n,n,n,x nx,y ny, i1 i1, xi yi nxy i1, i i,2、独立性检验 假设有两个分类变量X 和Y，它们的值域分另为x1, x2和y1, y2，其样本频数 22 列联表为：,若要推断的论述为H1：“X 与Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度.,n(ad bc)2,5,具体的做法是，由表中的数据算出随机变量 K 2 的值 K 2 ,(a b)(c d )(a c)(b d ),，其中,n a b c d 为样本容量，K2 的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 2 越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。 K2 3.841时，X 与 Y 无关； K2 3.841时，X 与Y 有 95%可能性有关； K2 6.635 时 X 与 Y 有 99% 可能性有关.,
