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1、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,2用矩阵表示,定义,合同矩阵有一下性质：,（1）自反性（2）对称性(3) 传递性,定理 设 是一个可逆矩阵,若 为对称矩阵,则 也为对称矩阵,且,三、矩阵的合同,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线 性变换，就得到标准形;,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,四、配方法求二次型的标准形,五、用初等变换法化二次型为标准形,由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式,然后，经过某个坐标变换可以将
2、它的二次型矩阵变成对角矩阵。,其中矩阵A是对称矩阵，即 AT = A。,我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积,一系列的合同运算,经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D,也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵 （二次型的标准化矩阵）。,解：,二次型的标准形为,坐标变换矩阵为,在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。,D为对角矩阵,二次型的标准形为：,坐标变换矩阵为,必须说明：,不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型,例如：,例3中的二次型，可以继续进行合同运算,其标准形为,坐标变换矩阵为,以上过程告诉我们，二次型可以通
3、过坐标变换化成标准形。,其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1, d2, , dn, n个实数,进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：,该式称为二次型的规范形。,r是矩阵A的秩，即二次型的秩。,注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。 同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di0的个数相同。,定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数,证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。,现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。,假设二次型可以化成两个规范形,(1),(2),由(1) (2) 我们有：,如果我们证明p=q，那么二
4、次型的正惯性系数是唯一的。,(4),反证法，假设q不等于p，不妨假设pq,如果找到不全为零的y1,y2,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立,问题： y1,y2,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,zn使(4)式右端小于0？,(4),方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。,由此得到p=q. 惯性定理成立。,第二节 正定二次型正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别,为正定二次型,为负定二次型,一、正(负)定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,二、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论1. 实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n,推论2. 实二次型正定的充要条件是其矩阵与n阶单位合同,推论3. 正定矩阵的行列式大于零,证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：,这个定理称为霍尔维茨定理,定理2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主 子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,
