《电动力学》课件 静磁场

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1、电动力学,E-mail: Shengzhi_ 授课老师：赵圣之,第三章 静磁场,第一节 矢势及其微分方程 第二节 磁标势 第三节 磁多极矩 第四节 阿哈罗诺夫玻姆效应 第五节 超导体的电磁性质,第一节 矢势及其微分方程,一、矢势及其微分方程 稳恒电流： 界面： 1、矢势的引入 因为 ，令 ，称A为矢势。 （1）矢势的物理意义 考虑： A沿任一闭合回路的环量代表通过该回路为界任一曲面的磁通量。,（2）B确定，A不确定 因为： ，令： 可对A加限定条件： 。这一限定条件是许可的。 例如： 引入： 限定： 对A所加的辅助条件称为规范条件。以后所取得A均满足规范条件。 2、矢势的微分方程 均匀线性介质

2、B=H, , 将 代入：,即： 无界空间： A与J同向。 不同的坐标系， 形式不同。 （1）直角坐标系 （2）柱坐标,（3）球坐标系 3、矢势的边值关系 界面： 在界面作一无穷小回路：,由规范条件： 所以有： 4、矢势的求解 A的方程和边值关系归结为如下： 如果给定了电流分布，可由上面方程及边值关系采用分离变量法求解A。其零势点的选择与电势类同。,例：无限平面上流有均匀面电流f，求空间势分布。 解：选坐标原点位于电流平面的直角坐标系，z与f同向，x垂直板面。由电流分布可知： 当x0时: 方程的解为： 令零势点x=0： 解为： 考虑对称性：,例：半径为a、磁导率为的无穷长圆柱体流有电流I，求矢势

3、分布，并进而求B。 解：选柱坐标系，z为中心对称轴，且与J同向。 由电流分布可知: 当ra时：,当r=a时: 因此有： 令：,例：一个均匀带电的薄导体球壳，半径为a，总电荷为Q，今使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求矢势及磁场。 解：选坐标原点位于球心的球坐标系，z与同向。 由对称性可知： 即： 令：A=R(r)Y()，代入上式化简得：,上边两方程中第一个的解为： 对第二个方程，令x=cos可化为： 该方程为m=1的缔合勒让德方程，其解为： 因此有： 当ra时，考虑： 因此有：,当r=a时： 对于(2): 因为： 即： 欲使上式两边相等： 由(1)和（3）可得：,联立(4)和（5）可得： 因此

4、：,二、稳恒电流磁场的能量 因为： ，场磁能： 利用公式： 考虑场分布： 计算场磁能的表示式： 设V中有电流分布J和Je， 则总能量： 其相互作用能：,第二节 磁标势,一、磁标势的引入 若考虑的区域： ，这样的区域是存在的： 1、单连通区域中Jf=0； 2、区域中Jf0，把Jf挖去（面电流）； 3、永磁体产生的场。 引入势m，令 ，称m为磁标势。 二、势方程及边值关系 由： 令： m称为磁荷密度， m称为面磁荷密度。,因此有： 边值关系： 注意： （1）磁荷不存在，只是 与电荷形式 类似称为磁 荷，它反映介质对场作用的一种等效形式； （2)）因磁荷已反映了介质对场的影响，考虑磁荷后就不再考虑磁

5、化电流的影响； （3）铁磁质B=0(H+M)，不能直接用B=H，后者适用于各向同性非铁磁质。,三、磁标势描写磁场的方法与静电场对比 静电场 静磁场,例：均匀磁化的圆柱形磁棒，磁化强度为M, 求等效磁荷的分布。 解：选柱坐标系， M与z同向。 柱内： 因M为常矢量， 面磁荷密度： 侧面： 右端面： 左端面：,例：半径为a、磁化强度为M的均匀磁化铁球，求等效磁荷分布及场。 解：选坐标原点位于球心的球坐标系， M与z同向。 球内： 因M为常矢量， 球面： 磁荷分布关于z轴对称： 当ra时： 考虑ra:,考虑ra： 当r=a时： 比较（1）和（2）两边可知，只有A1和B1不为0，由此得： 因此：,例：

6、一个均匀带电的薄导体球壳，半径为a，总电荷为Q，今使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求磁标势及磁场。 解：挖去球壳，球内外区域可引入磁标势，且球表面无面磁荷。选坐标原点位于球心的球坐标系，z与同向。 当ra时： 考虑ra： 当r=a时： 边值关系：,即： 欲使（1）两边相等： ，由（1）、（2）得：,第三节 磁多极矩,一、磁多极矩 1、电流线圈的磁矩 对于体电流分布： 2、小区域电流分布在远区产生的势 在区域V中有电流分布J, 矢势：,考虑远区的势，把(1/r)在x=0附近展开（x为变量）： 将其代入： 其中： 上式说明磁单极子不存在（对应于自由电荷）。,在V中任取电流管i, 则： 利用公式，

7、并注意有关R的矢量为固定矢量： 考虑： 可得：,磁矩m产生的矢势： 3、磁场和标势 由矢势可求场，并考虑m为源量，求导算符作用于场点，可得： 因为R0: 考虑m为源量： 磁矩m产生的磁标势：,二、分布小区域电流在外场中的能量 外场的势Ae，电流J在外场中的能量： 若电流为线电流： 把Be在原点展开：BeBe(0)代入： 因此：磁矩m在外场B中的能量： 与电偶极子p在外场E中的能量不同 (场对偶极子做功场能减 少），磁场对磁偶极子做功等于场能增加而不是减少，若定义势函数U, 使做功等于势函数的减小：U= -W，磁矩m在外场B中的势函数： 因此磁偶极子在外场中受力：,例：一个均匀带电的薄导体球壳，

8、半径为a，总电荷为Q，今使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求磁矩及磁场。 解:（1） +d: 因此：,（2） 求场：球内等效的磁化强度： 球内场： 磁标势： 球外的场：,例：有一块磁矩为m的永磁体，位于距磁导率为无限大介质平面上 方为a处， m与介质平面法线的夹角为，求介质平面对m的作用力。 解：首先用电象法求象磁矩。设z轴垂直介质平面，且平面处为原点： z0: z0: 边值关系：,由（1）和（2）： 以m为原点、z与m同向建立坐标系, m在z0处激发的场： m与m的相互作用能和作用力：,第四节 阿哈罗诺夫玻姆效应,一、阿哈罗诺夫玻姆(AB)效应 经典电动力学：E和B用和A来描述，它们是辅助量

9、，不可观测； 量子力学： 和A 具有可观测的物理效应，1959年由阿哈罗诺夫 玻姆提出这一AB效应，并为实验证实。 二、 AB效应实验及现象 实验如图所示：电子经双缝分为两束， 到达屏幕产生干涉图样。若在双缝后放 一细长的螺线管，当管通电流在管内产生 磁场时，发现干涉条纹移动。,三、 AB效应的解释 管外无B，移动不是B所致，这说明磁场的物理效应不能完全用B描 述。 虽然管外无B，但由于磁通量不为0， A可对电子发生相互作用，它可影响电子波束的相位，从而使干涉条纹 发生移动。 AB效应表明， A具有可观测的物理效应。 如果利用量子力学波函数的相位变化和正则动量，可从理论上给予定 量解释。,第五

10、节 超导体的电磁性质,一、超导体的基本电磁现象 1、超导电性 物体TTc: 正常态；TTc时，电阻R=0，超导体电阻为0的性质 称为超导电性；Tc称为临界温度。 当物体处于超导态，加磁场H，当HHc时，超导电性被破坏， 变为正常态， H c称为临界磁场。 2、迈斯纳效应 （1）物体处于超导态，加外磁场H，只要HHc时，外场的B不能进 入超导体； （2）正常物体放入磁场中，当TTc时， B被排除超导体外。 总之：超导态物体内： B=0。,二、超导体的电磁性质方程 1、伦敦第一方程 超导是一种量子现象。处于超导态时，部分传导电子处于一个量子态 ，作有序运动，不受晶格散射；其余电子属于正常电子。 设

11、超导体内传导电子的密度为N，超导电子密度为Ns，正常电子密度 为Nn，则N=Ns+Nn；相应的有：J=Js+Jn。 因为Jn=E , 而Js服从新的规 律。超导电子不受阻尼，电场E加速电子。设v为电子速度： 超导电流方程，称为伦敦第一方程。 由伦敦第一方程可得超导体恒定下，R=0。 恒定： 只有Js0，超导电子无阻尼，R=0。,2、伦敦第二方程 迈斯纳效应：超导体内： B=0。 若超导体外H0、f=0，由边值关系： ， 超导体表面两侧：H1t=H2t。因此超导体内侧表面处H0， B也应存在于 一薄层内。 另外，由 ，超导体内J=0，电流只分布超导体表面薄层内 。所以，伦敦第一方程不足以描述超导

12、体的全部电磁性质，超导体内一 定存在电流与磁场相互制约的机制，即伦敦第二方程： 实际上，伦敦第一方程与第二方程相容。 由伦敦第二方程，可导出恒定情况下，超导体B和J仅存在超导体表面。,恒定：J=Js： 即： 一般情况下： 设超导体充满z0的空间： 当z数倍于L时，B(z)0，因此L是磁场透入超导体的线度，称为透射 深度。 再看电流分布： 即： 超导电流也仅存在表面 L薄层内。,三、超导体的完全抗磁性 超导体内：B=(H+M)=0, 即：M= -H， 超导体磁化率为（-1），磁 导率=0, 超导体为完全抗磁体。 通常把超导电流形式上看作一种磁化电流，用磁化强度M表示： 例：半径为a的超导体置于均匀外磁场H中，求磁场和面电流分布。 解：选球坐标系，z与H同向。 超导球体内： B=0； 用B表示 面电流在球内产生的场，则： 因为超导球体内J=0，电流仅分布在表面上，且面电流产生的场均匀， 所以球可视为均匀磁化的球体。设 它的等效磁化强度为M, 由磁化强度,为M的球在球内的场为： 因此有： 球内磁场： 超导球等效磁矩： 磁标势： 球外场： 球面电流：,