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1、Chapter5连续体的有限元分析原理,本章主要内容,5.1连续体的离散过程及特征 5.2平面问题的单元构造 5.3轴对称问题及其单元构造 5.4空间问题的单元构造 5.5参数单元的一般原理及积分,5.1连续体的离散过程及特征,杆梁结构由于本身存在有自然的连接关系即自然连接点，所以它们的离散叫自然离散。 而连续体则不同，它本身内部不存在自然的连接关系，而是以连续介质的形式给出物质间的互相关系，所以，必须人为的在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续的形式来逼近原来复杂的几何形状，所以这种离散过程称作逼近性离散。,5.2平面问题的单元构造,5.2.1三节点三角形单元,单元位移场表达 如图
2、所示的3节点三角形单元，节点i、j、m的坐标分别为 （ x i ,y i ）， （ x j ,y j ）， （ x m ,y m ） 节点位移分别为 （ u i ,vi ）， （ u j ,v j ）， （ um ,v m ） 六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以3节点三角形单元的位移函 数如下,将3个节点上的坐标和位移分量代入上式就可以将六个待定系数用节点坐标和位移分量表示出来。,写成矩阵形式，,求解得,A为三角形单元的面积。,T的伴随矩阵为,则,整理后可得，,令,（下标i，j，m轮换）,则,单元内的位移记为,单元的节点位移记为,单元内的位移函数可以简写成,N称为形态矩阵，Ni称为形态
3、函数。,用 来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，,当三个节点取顺时针顺序时，,当三个节点取逆时针顺序时，,选择单元位移函数应满足以下条件： 1）反映单元的刚体位移与常量应变。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离。,单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。,形态函数Ni具有以下性质：,根据形函数的定义，容易证明其有以下性质： 1、单元内任意一点的三个形函数之和为1。,2、形函数Ni在节点i处的值为1，在其余节点处为零。,2、形函数Ni在节点i处的值为1，在其余节点
4、处为零。,3、在三角形单元边界ij上的型函数与第三个顶点无关。,比如，在ij边上，,，,同理可以得到其它边界上的情况。,讨论1：由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向和y方向来定义的，所以没有坐标变换问题。 讨论2：由于该单元的位移场为线性关系式，其中应变转换矩阵和应力转换矩阵都是常系数矩阵，因此在任意单元内任意点都是常数。因此，3节点3角形单元是常应力和常应变单元。 在实际过程中，对于应变梯度较大（也即应力梯度较大）的区域，单元划分应该适当密集，否则将不能反映应力和应变的真实变化情况，从而导致较大的误差。,例题：如图所示直接三角形单元，求其形态矩阵N。,分别对应于于a和b为任意数值的情
5、况。,1,2,3,4,a,2a,a,2a,O,x,y,1,2,3,4,a,2a,b,2b,O,x,y,单元应变,单元应变,单元应力,其中,单元刚度方程,根据最小势能原理 得,其中,例求单刚。,物理意义：单元节点位移与单元节点力之间的转换方程。单元刚度矩阵的每一元素是一个刚度系数，它的物理意义是单位节点位移分量所引起的节点力分量。 由于单刚中每一个元素具有上述性质，所以单元刚度矩阵只决定于单元的形状、大小、方向和弹性系数，而与单元的位置无关，即不随单元坐标的平行移动而改变。,例求证单刚,5.2平面问题的单元构造,5.2.2四节点矩形单元,经过等参变换,可以得到等参单元,位移模式 代入边界条件得以
6、下8个式子,写成矩阵形式为,故,求解以上方程得,将求得的待定系数代入到原假定位移模式有,因此有,其中的四个形函数可以写成统一形式,单元位移可以写成矩阵形式为 其中N为形函数,单元应变 从几何方程可以得到应变分量,上式可以简写成,其中B为应变转换矩阵,单元应力 从物理方程可以得到应力分量,上式可以简写成,其中S为应变转换矩阵,单元刚度矩阵,通过虚功方程得到单刚方程,写成分块形式为,其中每一子块矩阵具体表示为,上面对应的是平面应力的情况，对于平面应变问题，只需将其中的弹性模量和泊松比作相应变换。对于体积力和表面力引起的节点力仍然可以用前面的公式进行计算。由于四节点矩形单元采用较高阶的位移模式，具有
7、比三节点三角形单元更高的计算精度，但是它也缺点，一是不能适应斜线以及曲线边界；二是不便于采用大小不同的单元。,5.3轴对称问题及其单元构造,基本概念 几何形状 约束条件 载荷,轴对称问题分析中所使用的三节点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环。参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三节点三角形单元位移函数取为,将3个节点上的坐标和位移分量代入上式就可以将六个待定系数用节点坐标和位移分量表示出来。,写成矩阵形式，,求解得,A为三角形单元的面积。,T的伴随矩阵为,则,整理后可得，,令,（下标i，j，m轮换）,则,单元的应变,其中,从而得,其中,由于函数f仍然是r和z的函数,因
8、此三节点三角形环形单元不是常应变单元.,单元的应力 由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵,由弹性矩阵D和几何矩阵B可以得到应力矩阵S，并计算出单元内的应力分量,由应力矩阵可知，除某个剪应力为常量，其它三个正应力分量都是r、z的函数。,单元刚度矩阵,由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标代替B矩阵中的变量r、z。,5.5等参单元的一般原理和数值积分,不规则单元 规则单元 要实现两个坐标系中的单元刚度矩阵的转换,必须计算两个坐标系之间的三种映射关系 1)坐标函数映射 2)偏导数映射 3)面积(体积)映射,三角形单元的等参变换,面积坐标
9、 对于图示的三角形单元，p为单元内任意点。使用面积坐标后，各点的坐标可以表示如下：1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1）,面积坐标和普通坐标之间有如下关系：,比较三角形三节点单元的形函数有,由于形函数都在01范围内变化，因此在积分时比较方便。,对于三节点三角形单元有,四边形单元的等参变换,5.5.1坐标系的映射与变换坐标变换,设,上式满足边界条件得,从而可以得到以下关系式,代入4个点的具体坐标值有,从而可以得到以下关系式,回代得,对照前面的单元位移函数，可以发现单元位移模式的形函数和坐标映射变换的形函数一致。即,它通用具有形函数的性质： 1） 2）,5.5.1坐标系的映射与变换坐
10、标的偏导数变换,雅可比矩阵,因此,其中,显式形式为,5.5.1坐标系的映射与变换面积的偏导数变换,由于它们是整体坐标系（x,y）的函数，因此有,5.5.1坐标系的映射与变换体积的偏导数变换,由于它们是整体坐标系（x,y,z）的函数，因此有,5.5.2单元的映射 等参数单元： 几何形状函数矩阵的插值阶次=位移形函数矩阵中的插值阶次 超参数单元： 几何形状函数矩阵的插值阶次位移形函数矩阵中的插值阶次 亚参数单元： 几何形状函数矩阵的插值阶次位移形函数矩阵中的插值阶次,单元应变,其中,单元刚度矩阵,对于被积函数比较复杂的情况，以上积分难以以解析的形式给出， 一般都采用近似的数值积分方法。常用的是高斯
11、公式，它是一种高 精度和高效率的数值积分方法。,等参单元变换的条件及收敛性,雅可比矩阵的行列时不等于零是等参变换的条件。 等参变换的收敛性条件： 1）单元之间是协调的（公共节点和公共边） 2）单元内部的插值函数是完备的（至少应包含常数项和一次项） 为了保证单元的协调，相邻单元在这些公共面（或公共边）上应有完全相同的节点，同时每一单元沿着这些边（或面）的坐标和未知函数应采用相同的插值函数加以确定。 显然，等参单元在划分网格和选择单元时是可以做到这些的，因而能满足协调性条件。如果在公共边街上使用了不同数量的节点，则不能满足协调性条件。,5.5.3数值积分 在计算刚度矩阵系数时，往往要计算复杂函数的
12、积分，本章节主要介绍常用的数值积分方法。 一个函数的定积分，可以通过n个点的函数值以及它们的加权组合来计算，即,权积分系数,积分点位置,被积函数,积分点数,数值积分的基本思想 对于一个定积分，如何构造一个多项式函数(i) ，使得它在n个点与被积函数f()相同，即 则用多项式函数来近似代替被积函数，可以有以下关系成立,Newton-Cotes（牛顿-柯特斯 ）数值积分，它是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。 基于n个点，将多项式取为拉格朗日插值多项式，即 其中a0,a1an-1为常数， 为n-1阶拉格朗日插值函数，即,显然有,故有,其中,几个常见科特斯公式,在Newt
13、on-Cotes公式中 1）n=1时的公式是梯形公式 2）n=2时的公式是Simpson公式 3）n=4时的公式,科特斯系数表,Gauss（高斯）积分 如果调整n个插值点的位置，使得(i) 具有2n-1次多项式对被积函数进行逼近，则可以大大提高积分精度，也就是调整插值点的位置，使其达到一个最优组合，这种最优的位置点叫做高斯积分点。 由函数逼近理论，可以构造2n-1次多项式为,积分点有以下条件确定 可以看出，P（）具有以下性质： 1）在积分点上有， P (i) =0 2）多项式P（）与 i（i=1,2,3.n-1）在域内(-1，1)正交 则积分式变为,一点高斯积分情况（梯形求积公式，用直线代替y
14、=f() ）,两点高斯积分情况（抛物线积分公式）,按代数精度的概念，分别令f（ ）=1，2，3时上式左边与右边分别相等，有,三点高斯积分情况,按代数精度的概念，分别令f（ ）=1，2，3， 4， 5时上式左边与右边分别相等，有,多点高斯积分情况 如果按照上面方法来确定，需要求解 多元高次方程组。实际上，一般都采 用拉格朗日多项式来构造和求取相应 的积分点和积分权系数。 对于2D和3D的情况，可以将1D 的结果直接推广到2D和3D积分。,对于四节点等参数单元，一般取几个积分点就可以比较好地满足积分精度要求。对于更多节点的等参数单元，由于阶次比较高，按理积分点要取得多一些，但是考虑到有限元是把结构无限多的自由度简化为有限多的自由度，结构的刚度被夸大了，而另一方面，由于数值积分得来的刚度矩阵的数值，总是随着所取积分点的数目减少而减少，这样，如果采用偏少的积分点，可以使得上述两个方面的因素引起的误差部分抵消。 可以证明，收敛性所要求的数值积分的最低阶数，就是无误差的计算出单元体积所用的阶数，也就是最低阶数应当取决于的表达式中多项式的系数。实践计算表明，利用低阶积分法则，单元的刚度降低，但是补偿了由于假定位移场所引起的结构刚度增大的情况。各种单元的最佳积分法则通常用试凑和经验来确定。,本章习题 P202，5.3 P203，5.5 P204，5.8，5.9,
