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1、,学 海 无 涯 高中数学学考常用公式及结论 必修 1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 集合的分类；有限集，无限集 集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意 x A ，都有 x B ，则称 A 是 B 的子集。记作 A B 真子集：若A 是B 的子集，且在 B 中至少存在一个元素不属于 A，则 A 是B 的真子集，记作 A B,集合相等：若： A B, B A ,则 A B 3. 元素与集合的关系：属于不属于：空集： 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为 AB 交集：由集合A
2、和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为 AB 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为CU A 5集合a , a , a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个； 12n,有理数集：Q实数集：R,常用数集：自然数集：N 正整数集： N* 整数集：Z 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数f ( x ) = f ( x ) ， 偶函数f (x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形； 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 如果
3、一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数 f ( x )，若任意的x1, x2D，且 x1 x2,2、复合函数的单调性:同增异减 三、二次函数 y = ax2 +bx + c（ a 0 ）的性质,1、顶点坐标公式： ,2a4a,b4ac b2 ,b, ， 对称轴： x ，最大（小）值： 2a,4a,1,资料,4ac b 2,二次函数的解析式的三种形式 一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ; (2)顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0) ;,学 海 无 涯,(3)两根式 f (x) a(x x1 )(x x2
4、)(a 0) . 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m a n = a m + n ， （2） am an amn ， （3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n b n,（5）,an,b, bn, a n,（6）a 0 = 1 ( a0),an,（7） a n 1,n n,m an,1,（8） a m m an （9） a m ,2、根式的性质 （1） ( n a )n a .,a, a 0,（2）当n 为奇数时， n an a ；当n 为偶数时， n an | a | a, a 0 .,(a 0 且 a1)的性质： 值域：( 0 , +),
5、式的,a, N,互化： log N b ab N (a 0, a 1,数 ：,（1）a b = N b = log N a log a 1 = 0 log a a = 1,（4）log a b = b（5）a log a N = N a,（6）log a (MN) = log a M + log a N,M,（7）log a () = log a M - log a N,N b （8）log a N = b log a N,（9）换底公式：log a N =,log b N,a,am,n m,（ 10 ） 推 论logbn ,log b ( a 0 , 且,a 1, m, n 0 ,且m 1,
6、 n 1, N 0 ).,（11）log a N =,N,loga,1,（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数： ln A = log e A （ 其 中 e = 2.71828）,2、对数函数y = log a x,log b a (a 0 且 a1)的性质：,（1）定义域：( 0 , +) ；值域：R,（2）图象过定点（1，0）,六、幂函数y = x a 的图象:（1）根据,a 的 取,值画出函数在第一象限的简图 .,4、指数函数 y = a x （1）定义域：R ； Y,五、对数与对数函 0 1 对数的运算法则,X,5.指数式与对数 1,a 1,0,（2）图象
7、过定点（0，1） Y,X,1,0 a 1 0) .,Y,X,1,a 1,X,0,Y,1,0 a 1,0 a 1,0 a 1,a 0,2,资料,学 海 无 涯,例如： y = x 2, x1,1 x,1 y x x 2y ,七.图象平移：若将函数 y f (x) 的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数 y f (x a) b 的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 y N (1 p)x . 九、函数的零点： 定义：对于 y f (x) ，把使 f (x) 0 的 X 叫 y f (x) 的零
8、点。即 y f (x) 的图象与X 轴相交时交点的横坐标。 函数零点存在性定理：如果函数 y f (x) 在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有 f (a) f (b) 0，那么 y f (x) 在区间a,b 内有零点，即存在c a,b ，使得 f (c) 0 ，这个 C 就是 零点。 二分法求函数零点的步骤：（给定精确度 ）,2,a b,（1）确定区间a,b，验证 f (a) f (b) 0;(2)求a,b 的中点 x1 ,（3）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) 0 ，则 x1 就是零点；若 f (a) f (x1 ) 0 ，则零点 x0 a, x1 若 f (x1 ) f
9、 (b) 0 ，则零点 x0 x1,b ； （4）判断是否达到精确度 ，若 a b ，则零点为a 或b 或a,b 内任一值。否则重复（2）到（4）,必修 2： 一、直线与圆,1、斜率的计算公式：k = tan=,x2 x1,y2 y1,（ 90，x 1x 2）,2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k 存在 ； （2）点斜式 y y 0 = k ( x x 0 ) ，k 存在；,（3）两点式,1,2121,y yx x,y y1x x,1212,（ x x , y y ） ；,（4）截距式,ab,3,资料,xy, 1（ a 0,b 0）,学 海 无 涯 （5）一般式 Ax By
10、c 0(A, B不同时为0） 3、两条直线的位置关系：,4、两点间距离公式：设P ( x,11 , y 1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 )， 则 | P P | =,2,12,2,12,1 2x x y y ,A2 B 2,Ax0 By0 C,5、点P ( x 0 , y 0 )到直线 l ：A x + B y + C = 0 的距离： d ,7、圆的方程,8.点与圆的位置关系,00,点 P(x , y ) 与圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种,若 d (a x )2 (b y )2 ，则 d r 点 P 在圆外; 00 d r 点 P 在圆上; d r 点
11、P 在圆内. 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d) 直线 Ax By C 0 与圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种: d r 相离 0 ; d r 相切 0 ; d r 相交 0 . 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为 r1，r2， O1O2 d d r1 r2 外离 4条公切线; d r1 r2 外切 3条公切线; r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线; d r1 r2 内切 1条公切线;,4,资料,学 海 无 涯 0 d r1 r2 内含 无公切线. 11.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 若已知切
12、点(x0 , y0 ) 在圆上，则切线只有一条，其方程是,22,D(x0 x)E( y0 y),x0 x y0 y , F 0 .,00,当(x , y ) 圆外时,00,22,x x y y D(x0 x) E( y0 y) F 0 表示过两个切点的切点弦方程,过圆外一点的切线方程可设为 y y0 k(x x0 ) ，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注 意不要漏掉平行于y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ，再利用相切条件求b，必有两条切线 (2)已知圆 x2 y2 r2 过圆上的 P (x , y ) 点的切线方程为 x x y y r 2 ; 00000 斜率
13、为k 的圆的切线方程为 y kx r 1 k 2 二、立体几何 （一）、线线平行判定定理： 1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、垂直于同一平面的两直线平行。 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （二）、线面平行判定定理 1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 （三）、面面平行判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （四）
14、、线线垂直判定定理： 若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （五）、线面垂直判定定理 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （六）、面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （七）证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. （八）证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平
15、面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.,5,资料,资料,6,学 海 无 涯 （九）证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. （十）证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理； （十一）证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；,（十二）证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 三、空间几何体 （一）、正三棱锥的性质 1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为 a，则有,2、正三棱锥的辅助线作法一般是： 作 PO底面 ABC 于 O，则 O 为ABC 的中心，PO 为棱锥的高， 取 AB 的中点D，连结 PD、CD，则 PD 为三棱锥的斜高，CD 为ABC 的 AB 边上的高， 且点O 在 CD 上。POD 和POC 都是直角三角形，且POD =POC = 90 （二）、正四棱锥的性质,1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为 a，则有,P,D,A,B,C O,E,C,B,A,P,D,O,（五）几何体的表面积体O
