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1、理科数学 第 页（共 4 页）1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）卷） 理科数学理科数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合，则中元素的个数为,| ),( * xyyxyxAN8| ),(yxyxBBA A. 2B. 3C. 4D. 6 2. 复数的虚部是 i 31 1 A. B. C. D. 10 3 10 1 10 1 10 3 3. 在一组样本
2、数据中，1、2、3、4 出现的频率分别为，且，则下面四种情形 4321 pppp，1 4 1 i i p 中，对应样本的标准差最大的一组是 A. B. 0.41 . 0 3241 pppp，0.14 . 0 3241 pppp， C. D. 0.32 . 0 3241 pppp，0.23 . 0 3241 pppp， 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区 新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)（t 的单位：天）的 Logistic 模型：，其中 K 为最 )53(23 . 0 e1 )( t K tI 大确诊病例数。当时，标志着已初步遏
3、制疫情，则约为（）KtI95 . 0 )( * * t319ln A. 60B. 63C. 66D. 69 5. 设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线交于 D、E 两点，若，则 C 的)0(2: 2 ppxyCOEOD 焦点坐标为 A. B. C. D. ) 0 , 4 1 () 0 , 2 1 ()0 , 1 ()0 , 2( 6. 已知向量 a、b 满足，则61|5|baba，baa,cos A. B. C. D. 35 31 35 19 35 17 35 19 7. 在中，则ABC34 3 2 cosBCACC，Bcos 2020.7 理科数学 第 页（共 4 页）2 A. B
4、. C. D. 9 1 3 1 2 1 3 2 8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 246 B. 244 C. 326 D. 324 9. 已知，则7) 4 tan(tan2 tan A. -2B. -1C. 1D. 2 10. 若直线 l 与曲线和圆都相切，则 l 的方程为xy 5 1 22 yx A. B. C. D. 12 xy 2 1 2 xy1 2 1 xy 2 1 2 1 xy 11. 设双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为。P 是 C 上一点，)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C5 且。若的面积为 4，则 a =PFPF 2
5、1 21F PF A. 1B. 2C. 4D. 8 12. 已知，。设，则 45 85 54 813 8log5log3log 1385 cba， A. B. C. D. cbacabacbbac 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13. 若 x、y 满足约束条件则的最大值为_。 , 1 , 02 , 0 x yx yx yxz23 14. 的展开式中常数项是_（用数字作答） 。6) 2 ( 2 x x 15. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_。 理科数学 第 页（共 4 页）3 16.
6、 关于函数有如下四个命题： x xxf sin 1 sin)( 的图像关于 y 轴对称。)(xf 的图像关于原点对称。)(xf 的图像关于直线对称。)(xf 2 x 的最小值为 2。)(xf 其中所有真命题的序号是_。 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17. （12 分） 设数列满足
7、。 n anaaa nn 433 11 ， （1）计算，猜想的通项公式并加以证明； 32 aa ， n a （2）求数列的前 n 项和。2 n na n S 18. （12 分） 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理 数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 0,200(200,400(400,600 1（优）21625 2（良）51012 3（轻度污染）678 理科数学 第 页（共 4 页）4 4（中度污染）720 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同
8、一组中的数据用该区间的中点值为代表） ； （3） 若某天的空气质量等级为 1 或 2， 则称这天 “空气质量好” ； 若某天的空气质量等级为 3 或 4， 则称这天 “空气质量不好” 。 根据所给数据， 完成下面的列联表， 并根据列联表， 判断是否有 95%22 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 400人次 400 空气质量好 空气质量不好 附：， )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K 19. （12 分） 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F 分别在棱 DD1、BB1 上，且 2DE = ED1，BF = 2FB1
9、。 （1）证明：点 C1在平面 AEF 内； （2）若 AB = 2，AD = 1，AA1 = 3，求二面角 AEFA1的正弦值。 理科数学 第 页（共 4 页）5 20. （12 分） 已知椭圆的离心率为，A、B 分别为 C 的左、右顶点。)50( 1 25 : 2 22 m m yx C 4 15 （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且，求的面积。BQBPBQBP，|APQ 21. （12 分） 设函数，曲线在点处的切线与 y 轴垂直。cbxxxf 3 )()(xfy ) 2 1 (, 2 1 (f （1）求 b； （2）若有一个绝对值不大于
10、 1 的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于 1。)(xf)(xf 理科数学 第 页（共 4 页）6 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。分。 22. 选修：坐标系与参数方程（10 分）44 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为， C 与坐标轴交于 A、 B) 1( ,32 ,2 2 2 tt tty ttx 为参数且 两点。 （1）求；| AB （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程。 23. 选修：不等式选讲（10 分）54 设。10,abccbacba，R （1）证明：；0cabcab （2）用表示的最大值，证明：。,maxcbacba， 3 4,maxcba
