《高考数学总复习 第十单元第七节 空间向量及其运算精品课件 苏教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习 第十单元第七节 空间向量及其运算精品课件 苏教（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 空间向量及其运算(*),1. 空间向量的概念 空间向量:在空间,我们把既有 又有 的量叫做空间向量. 2. 共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定零向量与 共线. 3. 共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a0),b与a共线的充要条件是存在实数,使 .,基础梳理,大小,方向,互相平行或重合,任意向量,b=a,xa+yb,4. 共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p= . 5. 空间向量基本定理及其推论 (1)空间向量基本定理 如果三个向量 , ,
2、不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p= . (2)空间向量基本定理的推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 = .,(x,y,z),(x,y,z),6. 空间向量的坐标表示及坐标运算 (1)空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zk,则有序实数组 叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标. 特别地,若A(x,y,z),则向量 的坐标为(x,y,z),记作 = . (2)坐标运算 设 , ,则 a+b=
3、 ; a-b= ; a= .,|a|b|cosa,b,aa,7. 空间向量的数量积 (1)数量积的定义 设a,b是空间两个非零向量,我们把数量 |a|b|cosa,b叫做向量a,b的数量积,记作ab, 即ab= . 规定:零向量与任一向量的数量积为0. (2)用数量积表示夹角、长度与垂直 cosa,b= ; |a|2= = ; ab (a,b是非零向量).,ab=0,a=b,8. 空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标表示 设 , , 则ab= . (2)共线与垂直的坐标表示 设 , ,则 ab , , , (R); ab (a,b均为非零向量).,(3)模、夹角和距离公式 设 , ,则
4、= ; cosa,b= = ; 若 , , 则 = .,典例分析,题型一 向量的线性运算 【例1】如图所示,在平行六面体 中,设 , , ,M,N,P分别是 ,BC, 的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1) ;(2) ;(3) .,分析 从要求的向量出发，选取适当的三角形（或平行四边形）,利用向量的加、减及数乘运算的法则和运算律，不断地进行分解，直到全部用已知条件表示出来为止.,解 (1)P是 的中点, (2)N是BC的中点, (3)M是 的中点, 又 ,学后反思 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功.要结合已知和所求，观察图形
5、，联想相关的运算法则和公式等就近表示所需向量，再对照目标，就不符合目标的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有的向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解.有分解才有组合，组合是分解的表现形式.空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组(a,b,c),可以表示出空间的任意一个向量,而且a,b,c的系数是唯一的.,举一反三 1. 在空间四边形OABC中, , , ,点M在OA上,且 ,N为BC的中点,则MN等于 .,解析： , , , , . +,得 ,答案：,题型二 共线、共面问题 【例2】如图所示,已知ABCD是平行四边形,P点是ABCD所在平面外一点,连接PA、PB、PC、PD
6、.设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心. (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面; (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.,分析 可以利用共面向量定理或其推论完成第(1)问的证明;从几何直观判断,第(2)问中的两个平面应该是平行关系.,解 (1)如图,连接PE,PF,PG,PH,并分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R. 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心, 所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形,且有: , , , . 因为四边形MNQR是一个平行四边形,所以 又
7、 所以 ,即 由共面向量定理知,E、F、G、H四点共面.,学后反思 （1）空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面. （2）用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化. （3）要学会用向量的知识来解决立体几何问题.,(2)由(1)得 ,所以 . 又因为EG 平面ABC,MQ 平面ABC, 所以EG平面ABC. 因为 ,所以MNEF.又因为EF 平面ABC,MN 平面ABC,所以EF平面ABC.由于EG与EF交于E点,所以平面EFGH与平面ABCD平行.,答案： A、B、D,举一反三 2. 已知向量a,b,且 , , ,则A、B、C、D中一定共线的三点是.,解析： A、
8、B、D三点共线.易证A、C、D不共线.,题型三 空间向量的数量积 【例3】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: (1) ;(2) ;(3) .,分析 可先将EF看作 ,然后利用向量数量积的定义求出即可.,学后反思 注意由图形写向量夹角时易出错,如BD,DC =120,易错写为BD,DC=60.,解 (1) (2) (3),举一反三 3. 如图,在四面体ABCD中,已知ABCD,ACBD,求证:ADBC.,证明： 设 =a, =b, =c, 则 =b-a, =c-b, =c-a. ABCD, 即a(c-b)=0,ac=ab. 又ACB
9、D, 即b(c-a)=0,bc=ba. =c(b-a)=cb-ca=ba-ab=0, ADBC.,题型四 向量的坐标运算 【例4】(14分)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),求: (1)ab; (2)a与b夹角的余弦值; (3)确定,的值使得a+b与z轴垂直，且 (a+b)(a+b)=53.,分析 求夹角需利用数量积，因而需求得|a|与|b|代入公式cosa,b= 而求,的值，需利用z轴的单位向量联立方程组求解.,解 (1）ab=（3，5，-4）(2,1,8) =32+51-48=-21.6 (2) cosa,b= .10 (3)取z轴上的单位向量n=(0,0,1),a+b=(5,
10、6,4). 依题意 (a+b)n=0, (a+b)(a+b)=53, 即 (3+2,5+,-4+8)(0,0,1)=0, (3+2,5+,-4+8)(5,6,4)=53, 故 -4+8=0, 29+48=53,解得 =1, = .14,学后反思 本题主要运用坐标代入运算即可.特别地，a+b与z轴垂直，只需满足a+b的竖坐标为零，即-4+8=0即可，可见,要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真.,举一反三 4. 已知向量a=(1,-3,2)和b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线AB上是否存在一点E,使 b
11、(O为原点)?,解析： (1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), |2a+b|= (2)设AE=tAB,则 =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2) =(-3+t,-1-t,4-2t). 若 b,则 b=0, 即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= . 故存在点E,使 b,此时E点坐标为E,10. 已知向量x与向量a=(2,-1,2)共线，且满足方程ax=-18，求向量x的坐标.,考点演练,解析： x与a共线，故可设x=k a, 由ax=-18,得 ak a= , 9k=-18,故k=-2. x=-2a=(-4,2,-4).,11. 如图,
12、在棱长为a的正方体 中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0 xa,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. (1)求出点E、F的坐标； （2）求证: (3)若 、E、F、 四点共面,求证:,解析： (1)易知,E(a,x,0),F(a-x,a,0). (2)证明: (a,0,a)、 (0,a,a), =(-x,a,-a), =(a,x-a,-a), =-ax+a(x-a)+a2=0. (3)证明: 、E、F、 四点共面, 、 、 共面. 视 与 为一组基向量,则存在唯一的实数对 、 使 , 即(-x,a,-a)= (-a,a,0)+ (0,x,-a) =(-a ,a +x ,-a ), -x=-a , a=a +x , -a=-a , 解得 , =1. ,12. 已知A、B、C三点坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1)，（-2，2，3），求点P的坐标，使得,解析: 设P(x,y,z)，则 =(x-2,y+1,z-2), =(2,6,-3), =(-4,3,1), (x-2,y+1,z-2)= (2,6,-3)-(-4,3,1) = (6,3,-4)=(3, ,-2)， x-2=3， y+1= z-2=-2,解得 x=5, y= , z=0, P点坐标为(5, ,0).,
