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1、学 海 无 涯,数列专题复习（0929）,（2）等差中项法： an1 an1 2an (n 2),一、证明等差等比数列 1 等差数列的证明方法： （1）定义法： an1 an d (常数) 2等比数列的证明方法：,n,a,（1）定义法： n1 q (常数)（2）等比中项法： a a,n1n1n,a a 2 (n 2),例 1.设an为等差数列，Sn 为数列an的前 n 项和，已知 S77，S1575，,S,Tn 为数列 n 的前 n 项和，求 Tn n,n,解：设等差数列a 的公差为 d，则,2,1,7a1 21d 7,Sn=na1n（n1）dS77，S1575， 即,15a1 105d 75
2、,a1 7d 5,a1 3d 1,n,Sn,解得 a12，d1a1,1 22,1,（n1）d2（n1）,n 1n2, n1 n ,n,SS1S,2,1,，数列 n 是等差数列，其首项为2，公差为，,Tn,44,19,n2n,例 2设数列an的首项 a1=1，前 n 项和 Sn 满足关系式： 3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4，） 求证：数列an是等比数列；,解：（1）由 a1=S1=1，S2=1+a2，得 a2=, 2 3ta13t,3 2t a3 2t,又 3tSn（2t+3）Sn1=3t 3tSn1（2t+3）Sn2=3t,nn1,a,a 得 3ta （2t+3）a=0
3、 n,3t,n1, 2t 3 ，（n=2，3，）,n,所以a 是一个首项为 1，公比为,3t,2t 3,的等比数列.,练习：已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，,（1） （2）,证明数列lg(1+an)是等比数列； 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn 及数列an的通项；,nn 答案 .(2) T 32 1 , a 32 1 1 ; nn 二通项的求法,（1）利用等差等比的通项公式 (2)累加法： an1 an f (n),1,n1,例 3已知数列a 满足a ， a, a ,n2 n,n1n,1,n,，求a 。,
4、2 111, 1 ,n2 nn(n 1)nn 1,解：由条件知： a a ,n1n,分别令n 1,2,3,(n 1) ，代入上式得(n 1) 个等式累加之，即,(a2 a1 ) (a3 a2 ) (a4 a3 ) (an an1 ),1111111,n 1n,1 n, (1 ) ( ) ( ) () 所以an a1 1 22334,11131 2n,a1 2 ，an 2 1 n ,（3）构造等差或等比 an1 pan q 或an1 pan f (n),n,例 4已知数列an 满足a1 1, an1, 2a 1(n N * ).,n,求数列a 的通项公式；,解：a 2a 1(n N * ), n
5、1n an1 1 2(an 1),an 1是以a1,1 2 为首项，2 为公比的等比数列。,n, a 1 2n.,即,n,a 2n 1(n N * ).,1,1,22,n1,n1n1,nn,例 5已知数列a 中， a 1, a 1 a ( )，求a .,学 海 无 涯,22,n1n,n,n1,解：在a 1 a (1)n1 两边乘以2n1 得： 2n1 a, (2n a ) 1,令b 2n a ，则b b 1 nnn1n,解之得：,n1,b b n 1 n 1,n,n,2n2n,bn 1,所以a ,.,n,练习:已知数列a 满足a 2a,nn1,4, 2n （1 n 2），且a 81 。,（1）
6、求a1，a 2，a3 ； （2）求数列an 的通项公式。,解：（1） a1 5，a2 13，a3 33,（2） a n 2an1 2n 1 a n 1 2(an1 1) 2n, an 1 an1 1 1 an 1 n 1 2n2n12n,n, a n (n 1)2 1,1,（4）利用nSn Sn1 (n2),S (n1),a,例 6若 Sn 和Tn 分别表示数列an 和bn 的前n 项和，对任意正整数,解：,an 2(n 1) ， Tn 3Sn 4n .求数列bn 的通项公式； an 2(n 1) a1 4d 2Sn n2 3n Tn 3Sn 4n3n2 5n 2 分,当,n1时,T1b135
7、8 当 n2时,bn Tn Tn16n2bn 6n2. 4 分 练习：1. 已知正项数列an，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=a 2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列，求数列an的通 n 项 an 源头学子小屋 新疆 特级教师 ,2,nnn,解 : 10S =a +5a +6， ,2,11111,新疆,源头学子小屋 特级教师 王新敞,10a =a +5a +6，解之得 a =2 或 a =,又 10S=a,n 1n 1,2,n 1, +5a+6(n2)，,22 由得 10an=(an an1 )+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0,an+an10， a
8、nan1=5 (n2),源头学子小屋,新疆 ,新疆 源头学子小屋, 特级教师 ,王 w,当 a1=3 时，a3=13，a15=73a1， a3，a15 不成等比数列a13;,2,131531 151n,新疆,源头学子小屋 特级教师 王新敞,当 a =2 时， a =12， a =72， 有 a =a a， a =2， a =,2设数列an 的前n 项的和,333,n,n,S 4 a 1 2n1 2 ， n 1, 2,3,（）求首项a1 与通项an ；,2n,n,（）设Tn S ， n 1, 2,3,3 2,n,i,i1,，证明：T ,41,111 解：（I）3,3,a S a 22 ,2 3
9、，解得： a1 2,4,4,1,3,33,n,n2n1,n1n1nn1,a S S a,a 2 2,n,n1, a 2n1 4a 2n ,所以数列,n,a 2n ,是公比为 4 的等比数列,所以：,1,n,n,a 2 a, 21 4n1,得：,nn,n,a 4 2,（其中 n 为正整数）,（II）,3333333,nn,S 4 a 1 2n1 2 4 4n 2n 1 2n1 2 2 2n1 12n 1,3,3,1,1,2n,2n,n,n,nn1,n1,Tn S 2 ,212 1,22 121 ,所以：,33,n,i,1n1,i1, 1 1 ,T ,22 1212,a,an,（5）累积法an1
10、f (n)an转化为 n1 f (n) ，逐商相乘.,2n,3n 1,例 7已知数列a 满足a ， a,n1n1,an ，求an 。,an 解：由条件知 n1 ann 1,，分别令n 1,2,3,(n 1) ，代入上式得(n 1) 个等式累乘之，即,123,n1,aaaa234nan,1,a2 a3 a4 an 1 2 3 n 1 an 1,1,n,33n, 2,又a 2 ，a,1,n,2,3n 2,3n 1,练习：1.已知a 3， a,n1,n,a(n 1) ，求a 。,学 海 无 涯,1,n,a,3(n 1) 1 3(n 2) 1,3 2 1 3 1,解： a ,3(n 1) 2 3(n
11、2) 23 2 2 3 2, 3n 4 3n 7 ,5 2 3 6,3n 1 3n 4,8 53n 1 。,n1,n123, a 2a 3a (n 1)a,2已知数列an，满足 a1=1， a,(n2)，,1,则an的通项an ,n 1 n 2,n1n,n1123,解：由已知，得a a 2a 3a (n 1)a na ，用此式减去已知式，得,当 n 2 时， an1 an nan ，即an1 (n 1)an ，又a2 a1 1，,aa,aaa a,a,a,n,n1,3,4,2,3,1,2,1, 3, 4,a 1, 1,2,n, n ，将以上 n 个式子相乘，得 a n! (n 2),n,an,
12、n1,（6）倒数变形： a,pa q,两边取倒数后换元转化为a,n,n1, pa q 。,n1,an1,例 8：已知数列an满足： an 3 a1, a1 1 ，求数列an的通项公式。,解：取倒数：,1 an1,n1 3 an1,13 a1,an, n ,a, 1 ,n1,111,是等差数列， (n 1) 3 1(n 1) 3 an aa3n 2,33nan1,n1,（n 2，n N ）,n1,练习：已知数列an满足：a1，且 an 22a 求数列an的通项公式；,an3,an1,n1n1,n,an,解：将条件变为：1 （1），因此1为一个等比数列，其首项为,1,111,n,1，公比，从而 1
13、 a33a,n1n 3n,，据此得 an（n1） 3n3n1,三数列求和,d,n,2,2,1,1n,n(n 1), na ,n(a a ),1、等差数列求和公式： S ,a a q,(q 1) (q 1),na1,1 1n 1 q1 q,2、等比数列求和公式： S a (1 qn ),n,3、错位相减法求和, an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. Sn a1b1 a2b2 ,anbn,n,例 9 求和： S 1 3x 5x 2 7x3 (2n 1)xn1,n,解：由题可知，设 S 1 3x 5x 2 7x3 (2n 1)xn1 ,n,xS 1x 3x 2 5x3 7x 4 (2n 1)x
14、n （设制错位）,234n1n 得 (1 x)Sn 1 2x 2x 2x 2x 2x (2n 1)x,（错位相减）再,n,1 x,利用等比数列的求和公式得： (1 x)Sn 1 2x ,1 xn1, (2n 1)x 。,2,(1 x),Sn ,(2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x),246,2 22,232n,2n,练习： 求数列, , 前 n 项的和.,解：由题可知， 2n 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 1 的通项之积 2n2n,n,设 S,2n,2,2223, 2 4 6, 2n ,12462n,Sn 22223242n1,得,222324,22, 2, 2 2 2 2,
15、n,(1 1)S, 2 ,2n2n12n12n1, 2n1 2n,2,3,n1,n 2,Sn 4 ,4、倒序相加法求和,这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原,学 海 无 涯,数列相加，就可以得到 n 个(a1 an ) . 5、分组法求和,有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比,或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.,1,11,例 10 求数列的前 n 项和：1 1, 4, 7, ,a,a 2an1, 3n 2 ，,1,a,解：设 S (1 1) ( 1 4) ( 1 7) ( 3n 2),a 2an1,n,将其每一项拆开再重新组合得,1,a,a2an1,n,S (1 1 1 ) (1 4 7 3n 2) （分组）,当 a1 时， S,n, n (3n 1)n (3n 1)n （分组求和） 22,1,1,1 a,1 an,当 a 1时， Sn , (3n 1)n 2,(3n 1)n 2a 1,a a1n,6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新 组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）,n,
