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1、1,无穷小的比较,利用等价无穷小替换求极限,2.6 无穷小的比较,第2章 极限与连续,2,如,不可比.,观察各极限,是无穷小.,一、无穷小的比较,不存在.,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,要快得多;,快慢相仿;,3,定义2.10,记作,记作,infinitesimal equivalenec,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;,低阶的无穷小;,同阶无穷小;,等价无穷小,4,如,高阶无穷小,同阶无穷小.,因为,二阶无穷小.,k 阶无穷小.,5,6,例,解,例,解,7,定理2.19,证,因此,设,则,因此,设,则,二、利用等价无穷小替换求极限,是等价无穷小的充要条件为,8,此
2、定理说明:,或者说,两个等价无穷小的差,的任何一个都是高阶无穷小;,比它们中,一个无穷小,与它的高阶无穷小,之和,仍与原无穷小,等价.,9,例,所以,所以,所以,所以,10,定理2.20,证,(等价无穷小替换定理),11,例,解,两个无穷小之,比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限,代替.,给 型未定式的极限运算带来方便.,12,练习,考研数学一至四(选择4分),解,等价的无穷小量是,13,练习,考研数学(一)填空4分,解,加、减项的无穷小不要用等价无穷小,代换.,14,例,解,正确解,错,?,15,例,解,16,解,练习,考研数学(二)填空4分,分子有理化,17,利用无穷小的传递性,把常见
3、的等价无穷小,作一个归纳,以便于记忆和应用.,18,19,练习,考研数学二(填空4分),解,20,练习,研究生入学考试数学(三, 四),填空题(4分),解,因为分子中的,所以分母的,故,因而,所以,21,高(低)阶无穷小;,同阶(等价)无穷小;,无穷小的阶.,三、小结,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,快慢,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,1. 无穷小的比较,2. 等价无穷小的替换,22,思考题,任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？,解答,不能,都是无穷小,但,例如,不存在.,故,不能比较.,23,作业,习题2.6(第41页) 阅读1-4； 解5(1)，6双，7(1).,
