《2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十一系统题型_平面向量的数量积及应用含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十一系统题型_平面向量的数量积及应用含解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 课时跟踪检测（三十一）系统题型平面向量的数量积及应用 A 级保分题准做快做达标 1(2019牡丹江第一高级中学月考) 已知圆O是ABC的外接圆，其半径为1，且AB AC 2AO ， AB1，则CA CB ( ) A. 3 2 B.3 C.3 D23 解析：选B 因为AB AC 2 AO ，所以点 O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB1，圆的半 径为 1，所以ACB30，且AC3， 则CA CB | CA | | CB |cos ACB 3. 故选 B. 2 3 ，P是弧2. (2019广州综合测试) 如图，半径为1 的扇形AOB中，AOB PM PN 的最AB上的一点，且满足OPOB
2、，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则 大值为 ( ) A. 2 2 B. 3 2 C1 D2 解析：选 C 扇形OAB的半径为 1， |OP | 1， OPOB，OP OB 0. AOB 2 3 ， AOP 6 ，PM PN (PO OM ) (PO ON ) PO 2 ON PO OM PO OM ON 1 |OM |cos 5 6 |OM | |ON |cos 2 3 10 3 2 0 1 2 1，故选 C. 3(2019南昌模拟) 已知 a(cos ，sin )， b(cos( ) ，sin( ) ，那么ab0 是 k 4 (kZ)的( ) A充分不必要条件B.必要不充分条件 C充要
3、条件D既不充分也不必要条件 解析：选B abcos cos( ) sin sin( ) cos 2 sin2cos 2，若 ab0， 则 cos 2 0， 22k 2 (kZ)，解得k 4 (k Z) ab 0 是 k 4 (k Z)的 必要不充分条件故选B. 4.(2019 浙江部分市学校联考) 如图，点C在以AB为直径的圆上，其 中AB 2 2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则AC PB 的最大值是 ( ) A2 B.1 C0 D 1 解析：选 B 连接BC， 则ACB90. APPC， AC PB AC ( PC CB ) AC PC (AP PC ) PC PC 2. 依题意可证
4、 RtAPCRtACB， |PC | |CB | |AC | |AB | ，即 |PC | |AC|CB | 2 . |AC | 2| CB | 2| AB |2， | AC | 2| CB | 242| AC |CB | ，即 |AC |CB | 2，当且仅当 |AC | |CB | 时取等号， |PC | 1， AC PB PC 21， AC PB 的最大值为1，故选 B. 5 (2019四川双流中学月考) 已知平面向量PA ，PB 满足 | PA | | PB | 1，PA PB 1 2.若| BC | 1，则 |AC | 的最大值为 ( ) A.21 B.31 C.21 D31 解析：
5、选 D 因为 |PA | |PB | 1， PA PB 1 2， 所以 cos APB 1 2 ， 即APB2 3 ，由余弦定理可得AB11 13. 如图，建立平面直角坐标系， 则A 3 2 ，0 ，B 3 2 ，0 ，由题设点C(x，y) 在以B 3 2 ，0 为圆心， 半径为1 的 圆上运动，结合图形可知，点C(x，y) 运动到点D时，有 |AC|max|AD| |AB| 13 1. 故选 D. 6 (2019重庆梁平调研) 过点P( 1,1) 作圆C： (xt) 2( yt2) 21( tR)的切线， 切点分别为A， B，则PA PB 的最小值为 ( ) A. 10 3 B. 40 3
6、C. 21 4 D223 解析：选C 观察圆C的方程可知，圆心C在直线yx2 上运动，则 |PC| | 112| 1 2 22 2. 设 CPA ，则PA PB |PA |PB |cos 2 |PA | 2(2cos2 1) (| PC | 2 1) 2| PA | 2 |PC |2 1 (|PC | 21) 1 2 |PC | 2 |PC | 2 2 |PC | 2 3，令 | PC |2 x，设yx 2 x3，则 yx2 x 3 在 8 ， ) 上为增函数，故PA PB 8 2 83 21 4 ，故选 C. 3 7.(2019 北京四中期中考试) 如图，在ABC中，ABC120，BA4，B
7、C2，D是AC边上一点， 且DC 3 4 DA ，则 BD AC _. 解析：根据题意得BD AC 3 7 BA 4 7 BC (BC BA ) 3 7 BA BC 3 7 16 4 7 4 4 7 BA BC 1 7 BA BC 32 7 1 742cos 120 32 7 4. 答案： 4 8若 a，b， c 是单位向量，且ab0，则 (a c) (bc) 的最大值为 _ 解析：依题意可设a(1,0) ，b(0,1) ，c (cos ，sin ) ，则 (a c) (bc) 1(sin cos ) 12sin 4 ，所以 (a c) (bc) 的最大值为12. 答案： 12 9(2018泰
8、安二模 ) 已知平面向量a，b 满足 |b| 1，且 a 与 ba 的夹角为 120，则 |a| 的取值范围 为_ 解析：在ABC中，设AB a，AC b， 则 baAC AB BC ， a 与 ba 的夹角为120，B60， 由正弦定理得 1 sin 60 |a| sin C ， |a| sin C sin 60 23 3 sin C， 0Csin A，BA，故A为锐角， cos A 3 5， cos C cos(AB) cos Acos Bsin Asin B 33 65. 4 (2) 由余弦定理b 2a2c22accos B得， 16a 2c210 13ac2ac 10 13ac 16
9、13ac，当且仅当 ac 时等号成立，ac13， AB BC accos( B) accos B 5 13ac 5. 故AB BC 的最小值为 5. 11(2019太原模拟) 已知向量m3sin x 3，cos x 3 ，n cos x 3，cos x 3 ，f(x) m n. (1) 求函数f(x) 的最小正周期和单调递增区间； (2) 若 a，b， c 分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且a2，(2a b)cos Cccos B，f(A) 3 2， 求 c. 解： (1) f(x)m n3sin x 3cos x 3cos 2x 3 3 2 sin 2x 3 1 2 cos 2x 3
10、1 sin 2x 3 6 1 2， 函数f(x) 的最小正周期为3， 令 2 2k2x 3 6 2 2k，kZ，则 3kx 2 3k，kZ， 函数f(x) 的单调递增区间为3k， 2 3k ，k Z. (2) (2a b)cos Cccos B, 2sin Acos C sin Bcos Ccos Bsin Csin(BC) sin A， 0A0， cos C1 2， C 3 . f(A) sin 2A 3 6 1 2 3 2， sin 2A 3 6 1， 2A 3 6 2 2k，kZ，A 2 ， casin C2sin 3 3. B 级难度题适情自主选做 1在等腰三角形AOB中，若 |OA
11、| | OB | 5，且| OA OB | 1 2| AB | ，则 OA OB 的取值范围为 ( ) A 15,25) B. 15,15 C0,25) D0,15 5 解析：选A |OA OB | 1 2| AB | 1 2| OB OA | ，所以 |OA OB |21 4| OB OA | 2，即 ( OA OB ) 21 4( OB OA ) 2， 所以 OA 22 OA OB OB 21 4( OB 22 OA OB OA 2) ， 即 522 OA OB 5 2 1 4(5 22 OA OB 5 2) ，则 OA OB 15. 又OA OB |OA |OB | 55 25，当且仅当
12、 OA 与 OB 同向时取等号，因此上式等号不成立，所以OA OB 的取值范围为15,25) ，故选 A. 2已知 a，b，e 是同一平面内的三个向量，且|e| 1，ab，ae2，be1，当 |a b| 取得最小 值时， a 与 e 夹角的正切值为( ) A. 3 3 B. 1 2 C1 D 2 2 解析：选D 根据题意，分别以a，b 为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设e 与 a 的夹角为， 为 锐角，则 e 与 b的夹角为 2 . |e| 1， ab， ae2， be1， |a | cos 2， |b | cos 2 |b | sin 1， |a| 2 cos ，|b| 1 sin ， |a
13、 b| 2 |a|2 2ab |b|2 4 cos 2 1 sin 2 4 cos 2 1 sin 2(sin 2cos2) 54sin 2 cos 2 cos 2 sin 25 2 4sin 2 cos 2 cos 2 sin 29，当且仅当2sin 2 cos 2，即 tan 2 2 时等号成立，此时|a b| 取得最小值3，且 a 与 e 夹角的正切值为 2 2 ，故选 D. 3(2019武汉调研 ) 设A，B，C是半径为1 的圆O上的三点，且OA OB ，则 (OC OA ) ( OC OB ) 的最大值是 ( ) A12 B.12 C.21 D1 解析：选A 如图，作出OD ，使得O
14、A OB OD ，则 (OC OA ) (OC OB ) OC 2 OA OC OB OC OA OB 1 (OA OB ) OC 1OD OC ，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，OD OC 取 得最小值，最小值为2，此时 (OC OA ) ( OC OB ) 取得最大值，最大值为 12，故选 A. 4(2019江西吉安月考) 已知向量a(cos ，sin ) ，b(cos ，sin ) (1) 若| | 3 ，求 |a b| 的值； (2) 若 3 ，记f( ) ab|a b| ， 0， 2 ，当 1 2 时，求f( ) 的最小值 解： (1) 向量 a(cos ， si
15、n ) ，b(cos ， sin ) ， 6 ab (cos cos ，sin sin ) ， |a b| 2(cos cos )2 (sin sin ) 2 22cos( ) | | 3 ， 3 ， |a b| 222cos 3 2 11，或 22cos 3 2 11， |a b| 1. (2) 3 ， 0， 2 ， ab cos cos sin sin cos( ) cos 2 3 ， |a b| 2 2 cos 6 2cos 6 ， f( ) ab |a b| cos 2 3 2cos 6 2cos 2 6 2cos 6 1. 令tcos 6 ，则t 1 2，1 ， g(t) 2t 22t 1 2t 2 2 2 2 1. 又 12， 1 2 2 1， 当t 2 时，g(t) 有最小值 2 2 1， f( ) 的最
