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1、- 1 - 江苏省苏州市2018-2019 学年上学期高一期末数学试卷 一、填空题（本大题共14 小题，共70.0 分） 1. 已知集合，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 集合A、B的公共元素是2，进而可得到集合A、B的交集。 【详解】集合A、B的公共元素是2，则AB2. 【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。 2. 函数的定义域为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由对数的真数大于0，列出不等式求解即可。 【详解】由题意，解得，故函数的定义域为. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。 3. 若角的终边经过点, 则的值为 _ 【答
2、案】 -2 【解析】 由三角函数的定义可得，应填答案。 4. 已知向量(3，5) ，(4 ，1)，则向量的坐标为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由即可得到答案。 【详解】由题意，. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于 基础题。 - 2 - 5. 已知 ，且是第四象限角，则的值是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由 是第四象限角，可得，进而可以求出，结合，可得到答案。 【详解】因为是第四象限角，所以，则， 则. 【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基础题。 6. 下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是_ ； 【答
3、案】 【解析】 【分析】 对四个函数逐个分析，满足题意；是单调递增函数；定义域不是R；不是递减函数。 【详解】，故的定义域是R 且在定义域上为减函数；，为定义域 上的增函数， 不满足题意； ，定义域为，不满足题意； ， 在定义域上不是单调函数，不满足题意。 故答案为. 【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、 一次函数与分段函数，属于基础题。 7. 设，若，则 . 【答案】 【解析】 当，解得（舍去），当，解得或（舍去），当，解得（舍 去） ，综上故填 8. 已知函数的零点(n，n1) ，则n的值是 _ - 3 - 【答案】 1 【解析】 【分析】 分析
4、可得函数是上的增函数，可知零点在(1，2) 上，进而可得到答案。 【详解】因为函数和都是上的增函数，所以函数是上的增函数， 由于，故函数的零点(1 ，2)， 即n=1. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了函数的单调性，属于基础题。 9. 计算： _ 【答案】 7 【解析】 【分析】 由指数与对数的运算性质，化简即可得到答案。 【详解】，故 3+4=7. 【点睛】本题考查了指数与对数式子的运算性质，考查了学生的计算能力，属于基础题。 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来 的 倍（纵坐标不变） ，则得到的图象的函数解析式为_ 【答案】 【解
5、析】 【分析】 利用三角函数图象的伸缩、平移变换规律，即可得到答案。 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到，再将所得图象上的所有 点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到. 【点睛】由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin( x) 的图象，有两种主要途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 11. 某次帆船比赛LOGO（如图 1）的设计方案如下：在RtABO中挖去以点O为圆心，OB为半 径的扇形BOC（如图 2） ，使得扇形BOC的面积是RtABO面积的一半设AOB (rad) ，则 - 4 - 的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 设，进而表示出三角形的面积和扇形的面积，
6、然后建立关系式可得到 的值。 【详解】设，则三角形的面积为，扇形的面积为， 则，故， 因为，所以. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了扇形的面积公式，考查了学生分析问题、解 决问题能力，属于中档题。 12. 如图， 在长方形ABCD 中，M ，N分别为线段BC ，CD的中点， 若， 则的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 设，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建 - 5 - 立坐标系，用坐标表示，即可求出的值，进而得到答案。 【详解】设，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立如图所示坐标系，则，则 ， 即， 则即，解得，则. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查
7、了向量在 平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题。 13. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB6cm，AD10cm，沿着过C点的直线将矩形右下角折起， 使得右下角顶点B落在矩形的左边AD上设折痕所在的直线与AB交于M点，记翻折角BCM 为 ，则 tan 的值是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 - 6 - 设顶点B对折后交AD于N，设，由题中关系可得，即可求出，进 而由可得到答案。 【详解】设顶点B对折后交AD于N，设，则， ，则， 故，即，解得，则. 【点睛】本题考查了平面几何的翻折问题，考查了直角三角形在解决几何问题 中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题。 14
8、. 已知函数，设函数，若函数在 R上恰有两 个不同的零点，则k的值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意知在 R 上恰有两个不同的解，即函数与的图象有 两个不同交点，结合函数的表达式画出的图象，即可得到答案。 【详解】由题意知在 R上恰有两个不同的解，即函数与的 图象有两个不同交点， 当时， 则， 当时， 取得最小值为； 当时，则，当 时，取得最大值为. 可画出函数的图象， 可知当时，函数与的图象有两 个不同交点。 - 7 - 【点睛】已知函数有零点（方程有根）求 参数值常用的方法和思路 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离
9、，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求 解。 二、解答题（本大题共6 小题，共90.0 分） 15. 设全集UR，已知集合A1 ，2，B，集合C为不等式组的解集 (1) 写出集合A的所有子集； (2) 求和 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）对集合A1 ，2 ，写出它的子集即可； （2）先求出集合C，由补集和并集的概念求出 和即可。 【详解】（1）因为集合，所以它的子集, ,; （2）因为 , 所; 由，解得，所以 所以 【点睛】本题考查了集合的子集，考查了集合的补集与并集的求法，考查了不等式的求法
10、， 考查了学生的计算能力，属于基础题。 16. 设向量 (cosx， 1) ， (，4sinx) （1）若 ，求 tanx的值； - 8 - （2）若 ( ) ，且 ，求向量的模 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由 ，建立等式关系进而可以得到tanx的值； （2）由 ( ) ，建立等式关系可以 得到的值，结合 可以求出向量，进而得到答案。 【详解】（1）因为，所以 因为，所以，即. （2）因为, 即 所以，即，所以， 因为，所以，所以，即， 此时，所以. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，平面向量共线的坐标表示，向量的模，考查 了三角函数的化简与求值，属于中档题。
11、 17. 已知函数是定义在R上的偶函数，当x0 时， （1）当x0 时，求函数的表达式； （2）记集合M，求集合M 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）当时，代入x0 时的解析式，利用偶函数的性质，即可得到 答 案 ；（ 2 ） 分 情 况 讨 论 ， 当时 ，； 当时 ， ，分别求解即可。 【详解】（1）因为当时，, 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 所以时，函数的表达式为. （2）当时， - 9 - 若，则, 显然不成立； 当时，若， 则, 即, 平方后有，解得，适合题意 . 综上可知，. 【点睛】已知函数的奇偶性求解析式： 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利
12、用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关 于的方程 ( 组) ，从而得到的解析式。 18. 某校高一数学研究小组测量学校的一座教学楼AB的高度 已知测角仪器距离地面的高度为 h 米，现有两种测量方法： 方法如图用测角仪器，对准教学楼的顶部A，计算并记录仰角；后退 a 米，重复 中的操作，计算并记录仰角 方法如图用测角仪器，对准教学楼的顶部A底部 B，测出教学楼的视角，测 试点与教学楼的水平距离b 米 请你回答下列问题： 用数据， ，a，h 表示出教学楼AB的高度； 按照方法II ，用数据， b，h 表示出教学楼AB的高度 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由，可得，进而可求出的
13、表达式；（2）过 作， 垂足为， 可表示出， 结合 与，可得到的表达式，进而得到教学楼高度的表达式。 - 10 - 【详解】（1）由题意得：，所以， 因为，所以， 所以教学楼AB的高度为. (2) 如下图，过作，垂足为，则， 所以， 因为， 所以. 所以， 所以教学楼的高度为， 故教学楼的高度为. 【点睛】利用直角三角形的性质是解决本题的关键，本 题涉及多个直角三角形，利用公共边构造等量关系，考查了学生对所学知识的应用，属于中 档题。 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点， 求的值； 若的平分线交线段AB于点 D，求点 D的坐标； 在单位圆上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若
14、不存在， 请说明理由 - 11 - 【答案】（1）63； （2）； （3）单位圆上存在点或，满足题意 . 【解析】 【分析】 （1） 分别表示出与， 即可求出； （2） 设点， 由与平行可得到， 再由，得到，即可求出的值，进而得到答案； （3）假设 单位圆上存在点满足条件，用向量的坐标表示出，结合，即 可求出点C的坐标。 【详解】（1）因为， 所以； （2）设点, 则， 因为点在线段上， 所以, 即有，化简得, 再设， 因为， 同理， 可知, 化简得， 由解得，即点的坐标为. （3）假设单位圆上存在点满足条件， 则 ； 当时，即， 又因为，所以， 可知或. - 12 - 所以，当为第二象限角时
15、，; 当 为第四象限角时，. 综上所述，单位圆上存在点或,满足题意。 【点睛】本题考查了向量的数量积，共线向量的性质及向量的坐标运算，考查了学生对向量 知识的理解及运用，属于中档题。 20. 定义： 若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函 数 （1）若，(0 ，) ，试判断是否为“1 距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，( 1，) ，其中kR，且为“2 距”增函数，求的最小值 【答案】（1）见解析；（2）； （3）. 【解析】 【分析】 （1）利用“1 距”增函数的定义证明即可； （2）由“a距”增函数的定义得到 在上恒成立，求出a的取值范围即可； （3）由为“2 距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒 成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值。 【详解】（1）任意, 因为, 所以，所以，即是“1 距”增函数。 （2）. 因为是“ 距”增函数，所以恒成立， 因为, 所以在上恒成立， 所以，解得，因为, 所以. （3）因为，且为“2 距”增函数， 所以时，恒成立， - 13 - 即时，恒成立， 所以， 当时，即恒成立， 所以, 得; 当时， 得恒成立， 所以, 得, 综上所述，得. 又， 因为, 所以， 当时，若，取最小值为； 当时，若，取最小值 .
