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1、初中数学第1页 勾股定理 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT中， 勾股定理的应用：在RT中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边 长 c，则下列关于a,b,c 的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2D、 a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，A=90，则下列各式中不成 立的是（） A、BC 2- AB2=AC 2B、BC 2- AC2=AB 2 C、AB2+AC 2= BC 2D、AC2+BC 2= AB2 2、应用勾股定理求
2、边长 （3）已知在直角三角形ABC中， AB=10 cm, BC=8 cm, 求 AC的长 . （4）在直角中，若两直角边长为a、b，且满足 2 - 6+ 9 + |b -4| = 0，则该直角三角形的斜 边长为 3、利用勾股定理求面积 （5） 已知以直角的三边为直径作半圆，其中两个半圆 的面积为 25， 16，求另一个半圆的面积。 （6）如图（ 1） ，图中的数字代表正方形的面积，则正 方形 A 的面积为 。 （7）如图（ 2） ，三角形中未知边x 与 y 的长度分别是 x=,y=。 （8）在 RtABC 中， C90，若AC6，BC 8， 则 AB 的长为（） A、6 B、8 C、10 D
3、、12 （9） 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 （如图 4 所示）。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放 置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是 SS 12 、 、 SSSSSS 341234 、，则 =_。 【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键 在于找 面积相等 ，由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。 （等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形-找出图形面积的 表达式 -恒等变形 推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边 为 c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两 种不同的表示方
4、法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b， 斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定 理： 222 cba 3、运用勾股定理进行计算（重难点） （12）如图 ,一根旗杆在离地面9 米处折断倒下 ,旗杆顶 部落在离旗杆底部12 米 处,旗杆折断前有多高？ 初中数学第2页 25 7 （13） 两棵之间的距离为8m， 两棵树的高度分别为8m、 2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这 只小鸟至少要飞多少米？ 【基础检测】 1、在 RtABC中， C90，若 AB13，BC5，则 AC的长为（） A.5 B.12 C.13 D.18 2、已知 RtABC中， C90，
5、若 14ba cm， 10ccm，则 RtABC的面积为（） A . 24cm2 B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm 2 3、若 ABC中， C=90， （1）若 a = 5，b=12，则 c = ； （2）若 a =6，c =10，则 b = ； （3）若 ab=34，c =10，则 a= ，b= 。 4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积 为。 （不取近似值） 5、 一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为 3 : 4，求两直角边的长。 6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外 滑动了多少米？
6、 【培优突破】 1、折叠问题 （1） 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC=6cm、 BC=8cm，现将 ABC 折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE，则 BE 的 长为（） A、4cm B、5cm C、6cm D、10cm （2） 如图，折叠长方形的一边AD，使点 D 落在 BC边 上的点 F处，已知 AB=8cm， BC=10cm ，求线段 EC的值 2、运用勾股定理解决生活中的实际问题 （3）如图，为了测得小水坑两边A 点和 B 点之间的距 离，一个观测者在C 点设桩，使 ABC=90 ，并测得 AC=20m，BC=16m,则 A、B 两点之间的距离是对少? 3、分类讨论（已知
7、直角的两边，求第三边） （4）在 ABC中，AB=15， AC=20，BC边上的高 AD=12， 则 BC的值为（） A、25 B、7 C、25 或 7 D、不能确定 （5）已知 3, 4，a 是一个三角形的三边长，若三角形 为直角三角形，则 2 a的值是多少？ （6）在直角 ABC 中， AB=15， AC=20 ，BC 边上的高 AD=12，则 BC的值为多少？ 4、利用方程解题 （7）如图， ABC中， C=90 ，D 是 BC上的一点，已 知 BD=7， AB=20，AD=15，求 AC的长 . 初中数学第3页 （8）如图，已知 ABC中，AB=AC=20 ，BC=32，D 是 BC
8、上一点，且ADAC，求 BD的长。 【培优训练】 一、选择题 1在 RtABC 中， C=90 ，AC=9 ，BC=12，则点 C 到 AB 的距离是（） A、 36 5 B、 12 25 C、 9 4 D、 3 3 4 2若三角形ABC中， A： B： C=2：1：1，a，b， c 分别是 A， B， C 的对边，则下列等式中，成立 的是（） Aa2+b2=c2 Ba2=2c2Cc2=2a2Dc2=2b2 3 如图， AOC= BOC ，点 P在 OC上，PDOA 于点 D，PE OB 于点 E若 OD=8， OP=10，则 PE的长为（） A、 5 B、6 C、 7 D、8 4如图在直角
9、ABC中， BAC=90 ，AB=8，AC=6，DE 是 AB 边的垂直平分线，垂足为D，交边 BC于点 E，连 接AE，则 ACE 的周长为 （） A、 16 B、15 C、 14 D、13 5如图，矩形纸片ABCD 中， AB=4，AD=3，折叠纸片 使 AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG，则 AG 的长为 （） A、 1 B、 3 4 C、 2 3 D、2 6已知 ABC中， AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8， 则边 BC的长为（） A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对 7如图，在 Rt ABC中， ACB=90 ，CD AB于 D，已 知 BC=8 ，A
10、C=6 ，则斜边AB 上的高是 （） A、 10 B、5 C、 5 24 D、 5 12 8如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（） A、 2 5cm B、 2 3cm C、 2 4cm D、 2 5cm 9张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着 又向正南走了40m，此时他离家的距离为（）m A 30 B 40 C 50 D 70 10如图在 ABC中 C=90 ，AD 平分 BAC交 BC于 D， 若 BC=64， 且 BD： CD=9： 7，则点 D 到 AB 边的距离为（） A、18 B、32 C、28 D、24 11如图所示，是用4 个全等的直角三角形与1 个小正 方形镶嵌而成
11、的正方形图案，已知大正方形面积为49， 小正方形面积为4，若用 x，y 表示直角三角形的两直角 边（ xy） ，下列四个说法： x2+y2=49， xy = 2， 2xy+4=49，x+y=9 其中说法正确的是（） A、B、 C、D、 二填空题（共2 小题） 12如图，等腰 ABC 中， AB=AC ，AD 是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm， 则 AD=_cm 13如图，直线L 过正方形 ABCD的顶点 B，点 A、C 到 直线 L 的距离分别是1 和 2，则正方 形的边长是_ 14、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点， E、F 分别是 AB、
12、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5 求线段 EF的长。 初中数学第4页 二、勾股定理的逆定理 【知识点3】勾股定理的逆定理 （1）如果的三边 ，b, c 满足关系满足，则 该为直角三角形。 （2）的三边 ，b, c，假设 c 为最长边 ? 2 + ? 2 ? 2，则该为 三角形 ? 2 + ? 2 ? 2，则该为 三角形 （3）勾股定理逆定理的用途 典型题 （1） 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角 三角形的是（） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 （2） 若线段 a， b， c 组成直角三角形， 则它们的比为 （）
13、 A、234 B、346 C、51213 D、467 （3）下面的三角形中： ABC中， C=A B； ABC中， A： B： C=1 ：2：3； ABC中，a：b：c=3：4：5； ABC中，三边长分别为8，15，17 其中是直角三角形的个数有（）个 A1 B2 C3 D4 （4）若三角形的三边之比为 2 2 ： 1 2 ：1，则这个三角 形一定是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形 （5）已知a， b， c 为 ABC 三边，且满足（? 2 - ? 2） （?2 + ? 2 - ? 2） = 0 则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角
14、形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 （6） 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到 的三角形是 ( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 （7） 若 ABC的三边长分别长a,b,c ， 且满足? 2 + ? 2 + ? 2 + 200 = 12+ 16b + 20? ,试判断 ABC的形状。 （8） ABC的两边分别为5, 12， 另一边为奇数， 且 a+b+c 是3 的倍数，则c 应为，此三角形 为。 （9）求： 若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角 形的最大内角是度。 已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角
15、为。 【知识点 4】勾股数 （1）勾股数是正整数 （2）满足的关系条件? 2 + ? 2 = ? 2 （3）勾股数的n 倍（n0） ，仍然满足 ? 2 + ? 2 = ? 2 （4）常见勾股数 三、勾股定理的应用 1、与图形展开的有关计算（注意展开方式） （1） 某楼梯的侧面视图如图3 所示，其中米， ，因某种活动要求铺设 红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 （2）如图，在 棱长为 1 的正方体 ABCDABCD的表面上，求 从顶点 A 到顶点 C的最短距离 （3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高 4cm，一只蚂蚁 沿外壁爬行， 要从 A 点爬到 B 点， 则最少要爬行cm A B
16、初中数学第5页 （4） 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状， 目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计 划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设 方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方 案最省电线 2、航海问题 （1） 一轮船以 16海里 /时的速度从 A港向东北方向航行， 另一艘船同时以12 海里 /时的速度从A 港向西北方向航 行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里 （2）如图，某货船以24 海里时的速度将一批重要物 资从 A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东 60的方向上。该货船航行30分钟到达 B处， 此时又测得该岛在北偏东30的方向上， 已知在 C岛周 围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航
