《【全程复习方略】（浙江专用）高考数学 3.3三角函数的图象与性质配套课件 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】（浙江专用）高考数学 3.3三角函数的图象与性质配套课件 文 新人教A版（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 三角函数的图象与性质,三年9考 高考指数: 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等）.理解正切函数的单调性.,1.三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用. 2.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时既能利用函数的性质来描绘函数的图象，又能熟练地运用数形结合的思想方法. 3.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题.,1.周期函数和最小
2、正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的 每一个值时,都有_,则称f(x)为周期函数,T 为它的 一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正 数叫做f(x)的最小正周期.,f(x+T)=f(x),【即时应用】 思考：（1）常函数f(x)=a(aR)是否为周期函数,有无最小正周期? （2）若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数，对吗？ 提示：（1）是周期函数，但没有最小正周期. （2）对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，最小正周期是4.,2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,xR
3、,xR,-1,1,-1,1,xR且x +k, kZ,R,单调性,递增区间是 2k- ,2k+ (kZ), 递减区间是 2k+ ,2k+ (kZ),递增区间是 2k-,2k (kZ), 递减区间是 2k,2k+ (kZ),递增区间是 (k- , k+ ) (kZ),无最大值 和最小值,最值,x= 时, ymax=1; x= 时, ymin=-1,x= 时, ymax=1; x= 时, ymin=-1,+2k(kZ),+2k(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),奇偶性,奇函数,偶函数,奇函数,对 称 性,对称 中心,对称 轴,(k,0),kZ,(k+ ,0),kZ,( ,0),kZ,x=k+ ,
4、kZ,x=k,kZ,无对称轴,最小正周期,2,2,【即时应用】 （1）判断下列命题的正误.（请在括号中填“”或“”） y=sinx在第一、第四象限是增函数. ( ) y=sinx在x- , 上是增函数. ( ) y=tanx在定义域上是增函数. ( ) y=sin|x|是偶函数. ( ) y=sin2x的周期为2. ( ) y=cos2x的对称中心为（k+ ,0），kZ. ( ),（2）若直线y=a与函数y=sinx,x-2,2)的图象有4个交点,则a的取值范围是_. （3）函数y=tan( -x)的定义域是_.,【解析】（1）由y=sinx的递增区间是2k- ,2k+ （kZ）可知不正确,正
5、确；由y=tanx在(k- ,k+ ) （kZ）上是增函数可知不正确；由sin|-x|=sin|x|可知 正确；由y=sin2x的周期为 =知不正确；由余弦函数 y=cosx的对称中心为（k+ ,0）（kZ）可得x= + ，所 以（ + ,0）（kZ）为y=cos2x的对称中心，故不正确.,（2）如图所示: y=sinx,x-2,2)有两个周期, 故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1a1.,（3）由x- k+ ,kZ得xk+ ,kZ, 所以y=tan( -x)的定义域为x|xk+ ,kZ 答案：（1） (2)-1a1 (3)x|xk+ ,kZ,三角函数的定义域和值域 【方法点睛】 1.三
6、角函数的定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组）,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域的求法 （1）利用sinx和cosx的值域直接求. （2）把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域. （3）把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域. （4）利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.,【例1】(1)函数y= 的定义域为_. （2）已知f（x）的定义域为0，1，则f（cosx）的定义域 为_. （3）函数y=lgsin（cosx）的定义域为_. （4）当x , 时，函数y=3-sinx-2cos2
7、x的最小值是_， 最大值是_.,【解题指南】（1）tanx-10,且xk+ ，kZ;（2）要使 0cosx1;（3）要使sin（cosx）0，这里的cosx以它的值 充当角.（4）利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数 求解.,【规范解答】（1）由tanx-10,且xk+ ,kZ得 xk+ 且xk+ ,kZ，所以函数的定义域为：x|xk+ 且xk+ ,kZ 答案：x|xk+ 且xk+ ,kZ （2）0cosx12k x2k+ （kZ）. 所求函数的定义域为2k ，2k+ （kZ）. 答案：2k ，2k+ （kZ）,（3）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）. 又1cosx1
8、，0cosx1. 故所求定义域为（2k ，2k+ ），kZ. 答案：（2k ，2k+ ），kZ,（4）因为x , ,- sinx1, y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1=2（sinx- ）2+ , 所以当sinx= 时，ymin= ； 当sinx=1或- 时，ymax=2. 答案： 2,【互动探究】把本例（2）中的cosx改为sinx，如何求解？ 【解析】要使0sinx1，则2kx2k+，kZ， 所求函数的定义域为2k，2k+，kZ.,【反思感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式. 2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或者三角转化，这时候一定要注意所
9、给的定义域和三角函数的值域的应用.,【变式备选】1.函数y= 的定义域为_. 【解析】由 -10, 1, 2,0 得2kx2k+ 或2k+ x2k+,kZ. 答案：(2k,2k+ 2k+ ,2k+),(kZ),2.函数y=f(cosx)的定义域为2k- ,2k+ (kZ)，则 函数y=f(x)的定义域为_. 【解析】由2k- x2k+ ,得- cosx1,所以函数 y=f（x）的定义域为- ,1. 答案：- ,1,3.求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x0,的最大值和最小值. 【解析】设sinx-cosx=t,t= sin(x- ),- x- , - sin(x- )1得t-1,
10、 ,sinxcosx= ,y=t+ =- t2+t+ =- （t-1）2+1, 当t=1时，ymax=1； 当t=-1时，ymin=-1.,三角函数的单调性 【方法点睛】复合三角函数的单调区间 求形如y=Asin(x+)+k的单调区间时,只需把x+看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.求y=Acos(x+)+k和y=Atan(x+)+k 的单调区间与之类似. 【提醒】熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础.,【例2】求下列函数的单调区间： （1）y= sin（ - ）；（2）y=sin（x+ ）. 【解题指南】（1）要将原函数化为
11、y= sin（ x ）再求之. （2）可画出y=|sin（x+ )|的图象.,【规范解答】（1）y= 故由2k 2k+ 3k x3k+ （kZ）为单调递减区间； 由2k+ 2k+ 3k+ x3k+ （kZ）为单调递增区间. 单调递减区间为3k ，3k+ （kZ）， 单调递增区间为3k+ ，3k+ （kZ）.,（2）y=|sin（x+ ）|的图象如图，单调递增区间为k+ ，k+ （kZ），单调递减区间为k ，k+ (kZ).,【反思感悟】三角函数的单调区间的求法 （1）代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区
12、间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间.,（2）图象法 函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.,【变式训练】求下列函数的单调递增区间： （1）ycos(2x )；（2）y3sin( ). 【解析】（1）设2x ，则ycos当2k2k（kZ）时，ycosu随u的增大而增大. 又2x 随x的增大而增大（xR）, 当2k2x 2k(kZ), 即k xk (kZ)时，y随x增大而增大, ycos(2x )的单调递增区间为： k ，k (kZ).,（2）设 ，则y3sin,
13、 当2k 2k (kZ)时，y3sin随u增大而减小， 又 随x增大而减小(xR), 当2k 2k (kZ), 即4k x4k (kZ)时，y随x增大而增大, y3sin( )的单调递增区间为 4k ，4k (kZ).,三角函数的奇偶性和周期性 【方法点睛】 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断它们的奇偶性；也可以根据图象做判断.,2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期 为 ,y=tan(x+)的最小正周期为 . (3)利用图象.,3.三角函数的对称性 正、余弦函数
14、的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.要注意以下两种情况：一是没有考虑原函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形.,【例3】设函数f(x)=sin(x+)(0,| )，给出以下四个论断： 它的最小正周期为； 它的图象关于直线x= 成轴对称图形； 它的图象关于点( ,0)成中心对称图形； 在区间- ,0)上是增函数. 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可).,【解题指南】本题是一个开
15、放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断.,【规范解答】若、成立，则= =2； 令2 +=k+ ，kZ，且| ，故k=0，= .此 时f(x)=sin(2x+ )，当x= 时，sin(2x+ )=sin=0， f(x)的图象关于( ,0)成中心对称；又f(x)在- , 上 是增函数，在- ,0)上也是增函数，因此，用类 似的分析可得.因此填或. 答案：（也可填）,【反思感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查.解决时要注意结合三角函数的图象，其中对称性包含轴对称和中心对称.,【变式训练】已知函数f（x）=sin（x ）1，则下列说法正确
16、的是( ) (A)f（x）是周期为1的奇函数 (B)f（x）是周期为2的偶函数 (C)f（x）是周期为1的非奇非偶函数 (D)f（x）是周期为2的非奇非偶函数 【解析】选B.T= =2，且f（x）=sin（x ）1 =-cosx1，f（x）为偶函数.,【变式备选】已知函数f(x)=sin(x+),其中0,| . (1)若cos cos-sin sin=0,求的值； (2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间 的距离等于 ,求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m,使得函 数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.,【解析】(1)由cos cos-sin sin=0得 cos cos-sin sin=0,即cos( +)=0， 又| ,= . (2)由(1)得，f(x
