《（新课标 通用）高考数学 专题辅导与训练 2.4《导数的综合应用》课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（新课标 通用）高考数学 专题辅导与训练 2.4《导数的综合应用》课件 文（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,热点考向1 利用导数解决不等式恒成立问题 【例1】(15分)(2011浙江高考)设函数f(x)=a2lnx-x2+ax, a0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e-1f(x)e2对x1,e恒成立. 注：e为自然对数的底数.,【解题指导】(1)先求f(x)，再解不等式f(x)0, f(x)0, 所以 3分 由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，6分 减区间为(a,+).8分,(2)由题意得f(1)=a-1e-1,即ae, 由(1)知f(x)在1，e内单调递增，10分 要使e-1f(x)e2对x1,e恒成立， 只要 14分 解得a=e. 15分,利用导数解决不等式恒
2、成立问题的常用思想方法及步骤： 1.分离参数法： 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围.,2.函数思想法： 第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值(最值)； 第三步：构建不等式求解.,已知函数 (1)求函数 的单调递增区间； (2)若不等式f(x)g(x)在区间(0，+)上恒成立，求k的取值范围. 【解析】(1) 令g(x)0,得0xe, 故函数 的单调递增区间为(0,e).,(2)由 得 则问题转化为k大于等于h(x)的最大值， 又 令h(x)=0时， 当x在区
3、间(0，+)内变化时，h(x)、h(x)变化情况如下表：,由表知当 时，函数h(x)有最大值，且最大值为 因此,热点考向2 利用导数证明与函数相关的不等式问题 【例2】 (12分)(2011济南模拟)已知函数f(x)=alnx-ax-3 (aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a=-1时，证明在(1,+)上f(x)+20; (3)求证：,【解题指导】(1)先求f(x)，再根据a的取值范围，求出 f(x)的单调区间； (2)由a=-1,得到f(x)，再由(1)中f(x)在(1,+)上的单调 性证明. (3)由(2)得到关于x的不等式变形作为依据进而证明. 【规范解答】(1)根据题意
4、知, 1分 当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，1，单调递减区间为 (1，+)；2分,当af(1)，即f(x)-2, f(x)+20.,(3)由(2)得：-lnx+x-3+20, 即-lnx+x-10, lnxx-1对一切x(1,+)恒成立.8分 n2,nN*,则有0lnnn-1, 10分 12分,【变式备选】若将本例(3)中不等式变为： 试证明. 【证明】由例2(3)知lnxx-1,对一切x(1,+)恒成立， 令 即 所以,相加得：(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+ln(n+1)-lnn 即,利用导数证明与分式、指数式、对数式、函数等相关的不等式的步骤： 第一步：根据待证不等式的结
5、构特征，定义域以及不等式的性质，将待证不等式化为简单的不等式； 第二步：构造函数； 第三步：利用导数研究该函数的单调性或最值； 第四步：根据单调性或极值得到待证不等式.,设常数a0，函数f(x)=x-ln2x+2alnx-1(x(0,+). (1)令g(x)=xf(x)(x0),求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小； (2)求证：f(x)在(0，+)上是增函数； (3)求证：当x1时，恒有xln2x-2alnx+1.,【解析】(1)f(x)=x-(lnx)(lnx)+2alnx-1, x(0,+), g(x)=xf(x)=x-2lnx+2a,x(0,+), 令g(x)=0,得x
6、=2,列表如下： g(x)在x2处取得极小值g(2)=2-2ln2+2a, 即g(x)的最小值为g(2)=2-2ln2+2a, g(2)=2(1-ln2)+2a.ln20. 又a0,g(2)0.,(2)由(1)知，g(x)的最小值是正数， 对一切x(0,+),恒有g(x)=xf(x)0, 从而当x0时，恒有f(x)0, 故f(x)在(0,+)上是增函数.,(3)由(2)知：f(x)在(0,+)上是增函数， 当x1时，f(x)f(1)， 又f(1)=1-ln21+2aln1-1=0, f(x)0,即x-1-ln2x+2alnx0, xln2x-2alnx+1, 故当x1时，恒有xln2x-2al
7、nx+1.,热点考向3 利用导数解决与函数有关的方程解的问题 【例3】(2011皖南八校联考)已知f(x)=x2+3x+1, (1)a=2时，求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数； (2)a为何值时，y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个. 【解题指导】先将两图象公共点问题转化为方程组的解的个 数问题，再转化为关于x的方程的解的个数问题，进而构建函 数，利用导数研究其极值、单调性，进而作出其图象，从而 数形结合求解.,【规范解答】(1)当a=2时，联立 得 整理得x3+x2-x-2=0(x1), 即联立 求导得y=3x2+2x-1=0得x1=-1, 得到极值点分别在-1和 处，且极
8、大值、极小值都是负值，图象如图1，故交点只有一个.,(2)联立 得 整理得a=x3+x2-x(x1) 即联立 对h(x)求导可以得到极值点分别在-1和 处，画出草图2, 当a=h(-1)=1时,y=a与y=h(x)仅有一个公共点(因为(1，1)点 不在y=h(x)曲线上)， 故 时恰有两个公共点.,【互动探究】若本例(2)中“公共点个数恰为3个”，则实数a 的取值范围如何？ 【解析】由例3中图2知，当 时，恰有3个公共点.,1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路： (1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上交点问题；
9、(2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象； (3)结合图象求解.,2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： 第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调； 第二步：证明端点值异号.,设函数f(x)=x3+ax2-a2x+5(a0).当函数f(x)有两个零点时， 求a的值； 【解析】 由f(x)0得x-a或 由f(x)0得,所以函数f(x)的增区间为(-,-a), 减区间为 即当x=-a时，函数取极大值f(-a)=a3+5, 当 时，函数取极小值 又 所以函数f(x)有两个零点， 当且仅当f(-a)=0或 注意到a0,所以 即a=3为所求.,转化与
10、化归思想解决分式、高次式、指数式、 对数式不等式与方程问题. 利用导数解决分式、高次式、指数式、对数式不等式、方程问题类型： (1)与分式、高次式、指数式、对数式函数有关的不等式恒成立问题； (2)与分式、高次式、指数式、对数式函数有关的不等式的证明问题；,(3)与分式、高次式、指数式、对数式函数有关的函数图象交点问题； (4)与分式、高次式、指数式、对数式函数有关的函数的零点问题； (5)与分式、高次式、指数式、对数式函数有关的方程的解的个数问题.,求解时注意的问题： (1)以上问题在求解时，要根据待解决问题的特点，不管转化为函数的单调性，最值问题，还是转化为画函数的图象的问题，最终转化为利
11、用导数研究函数的单调性、极值(最值)问题而求解. (2)转化过程中要注意转化的等价性，对含参数的不等式、方程求解过程中注意分离参数及分类讨论，画函数的草图时，注意端点及与轴的交点的位置.,【典例】(12分)(2011辽宁高考)设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a,b的值； (2)证明：f(x)2x-2. 【解题指导】(1)先求导，再代入进行计算； (2)构造函数g(x)=f(x)-(2x-2)，将所求证问题转化为g(x)0的问题.,【规范解答】(1) 2分 由已知条件得 3分 即 解得a=-1,b=3.5分 (2)f(x)的定义域为(0，+)，6分 由(1)知f(x)=x-x2+3lnx.,设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,7分 则 8分 当00;当x1时，g(x)0时，g(x)0,即f(x)2x-2. 12分,
