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1、第五节 两角和与差的三角函数及二倍角的三角函数,基础梳理,1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 C(-):cos(-)= cos cos +sin sin ; C(+):cos(+)= cos cos -sin sin ; S(+):sin(+)= sin cos +cos sin ; S(-):sin(-)= sin cos -cos sin ;,2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2:sin 2= 2sin cos ; C2:cos 2= cos2-sin2 = 2cos2-1 = 1-2sin2; 3. 形如asin +bcos 的化简 asin +bcos = sin(+),其中c
2、os = ,的终边所在象限由a、b的值来确定.,题型一 化简求值,【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.,分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的和60、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外含有正切函数，切化弦后出现分式，可通过约分以去掉非特殊角.,解 原式=（2sin 50+sin 10 ） sin 80 =2sin 50+2sin 10 cos 10 =2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10) =2 sin(50+10)= .,(2)根据本题点拨采用“切化弦”是解决本题的关健.它为逆用差角公式与和角公式铺平了道路.在
3、三角函数式化简或求值过程中,还要注意利用和、差角的三角函数公式,它们可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便.,学后反思 (1)解决这类三角求值问题的一般规律是:恰当、准确地应用诱导公式、三角函数公式,合理地进行角的变换,使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题.,举一反三 1. 求sin 50(1+ tan 10)的值.,解析: 原式,题型二 给值求角,【例2】已知、为锐角，向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c = .若ab= ,ac= ,求角2-的值.,分析 由ab= ,ac= 及a,b,c的坐标，可求出关于、的三角函数值，进而求出角.,解 （1）
4、ab=(cos ,sin )(cos ,sin ) =cos cos +sin sin =cos(-)= , ac=(cos ,sin ) = cos - sin = . 0 ,0 ,- - . 由得-= ,由得= . 又、为锐角，= . 从而2-= .,学后反思 解决给值求角问题一般分如下三个步骤： （1）求角的某一个三角函数值； （2）确定角所在的范围； （3）确定所求角的值.,举一反三 2. 已知tan = ,tan = ,并且、均为锐角，求+2. 解析： tan = 1,tan = 1,且、均为锐角， 0 ,0+2 . 又,题型三 给值求值,【例2】 设cos(-)=- ,cos(+)
5、= ,- ,+ ,求cos 2,cos 2.,分析 本题“2”角与条件中出现的两个整体角+与-之间恰有关系(+)+(-)=2,(+)-(-)=2,使问题迎刃而解.诸如此类的整体还有=(+)-,2=( +)-( -),应注意在解题中的运用.,解 由cos(-)=- ,- ,得sin(-)= . 同理，可得sin(+)=- . cos 2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)= . 同理可得,cos 2=- .,学后反思 给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于将“目标角”变换成已知角.若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论.应
6、注意公式的运用、逆用、变形运用，掌握拆角、拼角、配角等技巧.,举一反三 3. 已知 解析：,题型四 实际应用,【例3】(14分)已知向量m=(sin B,1-cos B),且与向量n=(2,0)所成角为 ，其中A、B、C是ABC的内角. （1）求角B的大小； （2）求sin A+sin C的取值范围.,分析 （1）先利用向量的夹角公式求出角B的余弦值，进而求B的大小. （2）利用三角形的内角和定理将原式表示为一个角的三角函数的运算.,解 (1)m=(sin B,1-cos B),与向量n=(2,0)所成角为 , cos = ,2 2 -cos B -1=0, cos B=- 或cos B=1(
7、舍去)， B= .8,(2)由(1)可得A+C= , sin A+sin C=sin A+sin（ -A） = sin A+ cos A=sin（A+ ）.10 0A , A+ , sin（A+ ） , sin A+sin C . 14,学后反思 新课标对三角恒等变换的要求：“经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”.向量是公式推导的基础与工具，那么，考查向量与三角恒等变换的综合题必然成为高考合理的动向.这种综合题是高考中的中档题，向量的作用是用坐标运算来构造成一个三角函数，关键是把得到的三角函数式进行三角恒等变形，得到函数f(x)=Asin(x+)+b,从而
8、求周期、最值、单调性等问题.,举一反三 4. 如图所示，A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为 ,AOB为正三角形. (1)求sinCOA; (2)求cosCOB.,解析: (1)因为A点的坐标为 ,根据三角函数的定义，sinCOA= (2)因为AOB为正三角形，所以AOB=60. 又sinCOA= ,cosCOA= 所以cosCOB=cos(COA+60)=cosCOAcos 60-.,【例】已知在ABC中，sin(A+B)= ,cos B= - ,求cos A的值. 错解 方法一：sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 又,易
9、错警示,错解分析 方法一应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于cos A的一元二次方程再求解，方程虽不简捷却是可行的，然而，由于对ABC中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有检验，从而结论错误.事实上，已知cos B0,表明了B是钝角，由A+B+C=知,A为锐角， 不合题意，应舍去.,正解 在ABC中，由cos B=- ,得 .,考点演练,10. 若f()= ，求f（ ）.,解析: f()= . f（ ）= =8.,11. 已知 ,(0,)，求的值.,解析： 由已知条件得 . 即 sin - =0,解得sin = 或sin =0. 由0知sin = ,从而= 或= .,12. (2008江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为. （1）求tan(+)的值； （2）求+2的值.,解析：由条件得,（2）,
