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1、第七单元 数列,知识体系,第五节 数列的综合应用,基础梳理,1. 解答数列应用题的基本步骤 （1）审题仔细阅读材料，认真理解题意; （2）建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么; （3）求解求出该问题的数学解; （4）还原将所求结果还原到原实际问题中.,2. 数列应用题常见模型 （1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.其一般形式为an+1-an=d(常数). (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其一般形式为 (常数).
2、 (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型. （4）生长模型：如果某一个量，每期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）,称该模型为生长模型，如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等. （5）递推模型：如果容易推导该数列任意一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识来求解问题.,典例分析,题型一 建立等差或等比数列模型解应用题 【例1】 陈老师购买安居工程集资房72平方米,单价为1000元/平方米，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款
3、,每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%,每年按复利计算，那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元）(参考下列数据.0759=1.921,1.07510=2.065,1.07511=2.221) 分析 (1)分期付款，各期所付的款与各期所付款时所生利息的合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价到最后一次付款时所生的利息之和. （2）每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息.,解 设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房10年后)， 第1年付款及所生利息之和为x1.0759元， 第2年付款
4、及所生利息之和为x1.0758元， ， 第9年付款及其所生利息之和为x1.075元， 第10年付款为x元， 而所购房余款的现价及其利息之和为 1 00072-(28 800+14 400)1.07510=28 8001.07510(元)，,每年需付款4200元.,学后反思 分期付款中的有关计算关键在于： （1）准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值.(注：最后一次付款没有利息) （2）明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系. （3）掌握等比数列前n项和的计算方法,举一反三 1. 甲、
5、乙两人连续6年对某县农村养鸡规模进行调查，提供如图所示的两个不同信息.,甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只肉鸡. 乙调查显示：养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个. 请回答下列问题： （1）第2年养鸡场的个数及全县生产肉鸡的只数各是多少？ （2）第6年这个县出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数增加了还是减少了？,解析： （1）设第n年全县有养鸡场bn个，每个养鸡场产鸡an万只，则由题意知bn,an都是等差数列，且1n6,nN*, an=0.2n+0.8, b1=30,b6=10, ,bn=-4n+34. 因此,a2=1.2,b2=26,a
6、2b2=31.2(万只). 所以第2年有鸡场26个，全县产鸡31.2万只.,（2）由（1）得，a1b1=30,a6b6=20a1b1, 所以第6年出产的肉鸡数比第1年出产的肉鸡数减少了.,题型二 建立递推模型解应用题 【例2】 某油料库已储油料a t,计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b t,设 为正式运营第n年底的储油量. （1）求an的表达式并加以证明； （2）为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于 t,如果 ，该油库能否长期按计划运营？如果可以,请加 以证明;如果不行,请说明理由.（取lg 20.30,lg 30.48）
7、,分析 （1）本题易知 ,由构造法得数列 是等 比数列,即可求出 的通项公式，进一步可求 . （2）根据题意把问题转化为不等式问题,通过解不等式说明实际问题.,解 (1)依题意油库原有储油量为a t,则 =(1+25%)a-b= a-b, =(1+25%) -b= -b(n2,nN*），令 -x= ( -x), 则 = - ,于是b= ,即x=4b, = ( -4b), 数列 是首项为 a-5b,公比为 的等比数列. -4b=( -4b) =( a-b-4b) = a-5b , = a+4b-5b = a-4b .,(2)若 时，该油库第n年年底储油量不少于 t, 即 a- 4 ,即 3, 可
8、见该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营.,学后反思 (1)分析数列中相邻两项间的关系，得递推关系，构造数列（等差或等比数列）求得通项是解决数列问题的有效方法之一.本题分析 , 得 = -b,构造等比数列 ,求得 = a-4b ,也可以用数学归纳法 证明.将不等式 转变为 的计算,充分利用 信息lg 2,lg 3，向着解题的目标要求转变.,（2）常见的递推关系 迭加型： , (其中 )，如果可以求出f(n-1)+f(n-2)+f(1) 的表达式，即可求出通项公式.若f(n)=d,则 迭乘型： , .如果可以求出f(n-1)f(n-2)f(1)的乘积，即可求出通项公式.若 f(n)=q(q0,
9、且q1)，则 一阶线性型： (其中p,q均为常数，pq(p-1)0).不妨 设 ,这样就得到一个等比数列 ，其公比为p,首 项为 ,且不难求出,分式线性型： (A,C0).首先将 然后再用待定系数法求解.,举一反三 2. 某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给他开了一些消炎药，并叮嘱他每天早晚八时各服用一片药片.现知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%；并且如果这种药在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.请问： (1)该同学上午八时第一次服药，问第二天早间服完药时，药在他体内还残留多少？ （2）该同学若长期服用该药会不会产生副作用？,解析： (1)设该同学第
10、n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克， 则a1=220,a2=220+a1(1-60%)=2201.4. a3=220+a2(1-60%)=220+2201.40.4=343.2. 第二天早间是他第三次服药，故服药后，药在他体内的残留量为343.2毫克.,这就是说该同学长期服用该药，不会产生副作用.,分析 对于已知的条件运用Sn与an之间的关系式 求出an,an+1之间的关系，以及 之间的关系，再进行判定.,题型三 等差数列与等比数列的综合应用 【例3】(14分) 设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*).其中m为常数，m-3,且m0. (1)求证:an是等
11、比数列； (2)若数列an的公比满足q=f(m)且 (nN*,n2),求证: 为等差数列，并求bn.,证明 （1）由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式相减，得(3+m)an+1=2man(m-3), m是常数，且m-3,m0,故 是不为0的常数. an是等比数列,（2）由b1=a1=1,q=f(m)= 是以1为首项， 为公差的等差数列， ,当n=1时,也符合此式， 故有,学后反思（1）为了求数列bn的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列 的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题.本题求解过程中用到Sn与an之间的关系式,该公式运用时要注意验证n
12、=1时的情况. （2）等差数列的判定方法: 定义法：对于数列an，若an+1-an=d(常数)，则数列an是等差数列； 等差中项法：对于数列an，若2an+1=an+an+2,则数列an是等差数列. （3）等比数列的判定方法： 定义法：对于数列an,若 ,则数列an是等比数列； 等比中项法：对于数列an，若anan+2=a2n+1,则数列an是等比数列.,举一反三 3. (2010通州模拟)已知数列 中， ,点 在直线y=x上，其中n=1,2,3,. (1)令 ,求证:数列 是等比数列; （2）求数列 的通项公式.,将以上各式相加,得 ,易错警示,【例】 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金
13、进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上年增加 (1)设n年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 , 的表达式; （2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？,错解 （1）n年内的总投入为 n年内总收入为 (2)令 ，得,化简得 , 由此得n3.,错解分析 本题将等比数列的知识应用于生态环境建设的实际，考查了等比数列的基本知识、二次不等式的解法，以及估算能力.考生因错误理解题意而把总投入 和总收入 误求为数
14、列的第n项.有的考生不会由不等式估算n的取值范围. 本题应在认真审题的基础上，认识到每年的投入资本和旅游业的收入均形成等比数列，n年内的总投入和n年内的总收入为等比数列的前n项和，再令 ,解二次不等式，结合估算使问题得以解决.,正解 （1）第1年投入为800万元，第2年投入为 万 元，,第n年投入为 万元，所以，n年内的总投入为 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为 万 元,第n年旅游业收入 万元. 所以，n年内的旅游业总收入为,(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 即 令 ,代入上式,得 ,解此不等式， 得 或x1（舍去），即 ,由此得n5. 所以至少经过5年，
15、旅游业的总收入才能超过总投入.,考点演练,10. (2010武汉模拟)在如下图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，所有公比相等，求a+b+c的值.,解析 设公比为q,由题意知: , 第四行最后一个数为 由于每行成等差数列，所以 即bc=6,又 故 ,所以 因为 ,所以a=8,则a+b+c= .,【例2】(2010广东佛山模拟)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，用f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.,(1)试给出f(4),f(
16、5)的值，并求f(n)的表达式（不要求证明）; (2)证明：,分析 探求对于n2,有f(n)-f(n-1)=6(n-1).然后把问题转化为不等式问题，通过不等式说明实际问题.,解 (1)f(4)=37,f(5)=61. 由于f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=26, f(4)-f(3)=37-19=36, f(5)-f(4)=61-37=46, 因此，当n2时，有f(n)-f(n-1)=6(n-1), 所以f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(2)-f(1)+f(1) =6(n-1)+(n-2)+2+1+1 =3n2-3n+1. 又f(1)=1=312-31+1,所以f(n)=3n2-3n+1.,(2)当k2时,12. （2010苏
