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1、第二十讲三角函数的图象,回归课本,1.作y=Asin(x+)的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图. 用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0, , ,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.,(2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,方法一:先平移后伸缩 y=sinx y=sin(x+) y=sin(x+) y=Asin(x+).,方法二:先伸缩后平移 y=sinx y=sinx y=sin(x+) y=Asin(x+).,2.y=As
2、in(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A叫做振幅,T= 叫做周期, 叫做频率,x+叫做相位,x=0时的相位称为初相.,3.对称问题 y=sinx图象的对称中心是(k,0),(kZ). 对称轴方程是x= +k,(kZ). y=cosx图象的对称中心是 (kZ). 对称轴方程是x=k,(kZ).,考点陪练,答案:A,2.若f(x)=sin(x+)的图象(部分)如图所示,则和的取值是( ),答案:C,答案:C,4.(2010四川)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ),答案:C,答案
3、:C,类型一“五点法”作图 解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点最低点及与x轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个函数的图象.其一般步骤是:,(1)令x+分别等于0, , ,2,求出对应的x值和y值,即求出对应的五点; (2)在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接,得函数y=Asin(x+)在一个周期内的函数图象; (3)将所得图象向两边扩展,得y=Asin(x+)在R上的图象.,【典例1】作出函数 的一个周期内的图象. 分析考查:“五点法”作图.,反思感悟用“五点法”作正余弦函数的图象要注意以下几点:先将解析式化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式;
4、周期 ;振幅A(A0);列出一个周期的五个特殊点;描点用平滑曲线连线.,类型二三角函数的图象变换 解题准备:三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换,具体有以下三种变换: (1)相位变换:y=sinx的图象向左(0)或向右(1)到原来的 倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象.,(3)振幅变换:y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变),得到y=Asinx的图象.,分析先化异名为同名,后作变换.,反思感悟对于y=f(x)的图象,若将图象平移a(a0)个单位,当向左平移则把x换成x+a,当向右平移则把x换成x-a,其他任何数值和符号不变,若将图上各点
5、的横坐标伸长到原来的倍(1),则只需将x换成 ,若将图象上各点的横坐标缩短到原来的 (1),则只需将x换成x即可.,类型三三角函数y=Asin(x+)的解析式 解题准备:给出图象求解析式y=Asin(x+)+B的难点在于的确定,本质为待定系数法.基本方法是:“五点法”,运用“五点”中的一点确定.图象变换法,即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值点确定,有时从找“五点法”中的第一零值点 作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.,【典例3】下图为y=Asin(x+)的图象的一段,求其解析式.,分析确定A.若以N为五点法作图中的第一零点,由于此时曲线是先下降后上
6、升(类似于y=-sinx的图象)所以A0.而= ,可由相位来确定.,(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,“第一零点”的确定是很重要的,尽量使A取正值,由f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段图象,求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数和,常用如下两种方法: 如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标,那么由= 即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点横坐标x0,则令x0+=0(或x0+=)即可求出.,代入点的坐标.利用一些已知点(最高点最低点或零点)坐标代入解析式,再结合图形解出和,若对A,的符号或对的范围有要求,则可用诱导公式变换使其
7、符合要求.,(3)利用图象特征确定函数解析式y=Asin(+)+k或根据代数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法: 振幅A= (ymax-ymin). 相邻两个最值对应的横坐标之差,或者一个单调区间的长度为 由此推出的值. 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.,类型四三角函数图象的对称性 解题准备:函数y=Asin(x+)的图象的对称问题 (1)函数y=Asin(x+)的图象关于直线x=xk(其中xk+=k+ ,kZ)成轴对称图形,也就是说波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴. (2)函数y=Asin(x+)的图象关于点(xj,0)(其中xj+=k,kZ)成中心对称图形,也就是
8、说函数图象与x轴的交点(平衡位置点)是其对称中心.,类型五三角函数模型的常见应用 解题准备:三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常见类型有:,(1)航海类问题.涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角度.还涉及正余弦定理. (2)与三角函数图象有关的应用题.近年全国高考有一解答题正是此类应用题. (3)引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理,解决最优化问题,即求最值. (4)三角函数在物理学中的应用.,【典例5】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间
9、t(0t24,单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:,经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图象.,(1)根据以上数据,求出函数y=Acost+b的最小正周期T振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8：00到20：00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?,解(1)由表中数据,知周期T=12. = 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1.0,得b=1. 由得A=0.5,b=1,振幅为 ,(2)由题知,当y1时才可对冲浪者开放, 2k- (kZ),
10、 即12k-3t12k+3(kZ). 0t24,故可令中k分别为012,得 0t3或9t15或21t24. 在规定时间8：00至20：00之间,有6个小时的时间可供冲浪者运动,即9:00至15：00.,错源一未抓住平移对象而致误 【典例1】将函数 的图象沿x轴向左平移 个单位,求所得图象的解析式.,剖析此题出错率极高,主要原因是未抓住函数图象平移是针对自变量x而言的.,错源二伸缩变换中记忆不准而致错,剖析“错解一”错在变换公式记忆错误;“错解二”错误较多,不仅变换公式记忆错误,还不清楚变换是针对自变量x的.,错源三抓不住对称变换中针对对象而致错,剖析错在 前也加了负号,将函数图象关于y轴对称,
11、只是在自变量x前加负号,其他处都不变.,评析若将函数y=sin(x+)的图象关于y轴对称,所得图象的解析式为y=sin(-x+);若将函数y=sin(x+)的图象关于x轴对称,所得图象的解析式为y=-sin(x+).,技法“四看”解决图象平移问题 一看:平移要求 拿到这类问题,首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪个函数图象,这是判断移动方向的关键点.一般题目会有下面两种常见的叙述.,解析上面两题是平移问题两种典型的叙述方法,粗看两题好像差不多,其实两题的要求是不同的.第(1)题是要把函数y=sin2x移到 而第(2)题是要把函数 移到y=sin2x,两题平移的要求不同.第(1)题是基本形式,
12、应该选D,而第(2)题是它的反形式,故选C. 答案(1)D(2)C,二看:函数形式 我们在解决这类问题时,一定要依赖y=Asin(x+)的形式,如果题目给定的函数不是这样的形式,就要化为y=Asin(x+)的形式,再考虑平移.,解析此题主要是函数形式的变化,我们所研究的两个函数必须都是形如y=Asin(x+)的形式.当实际题目中的两个函数不都是这样的形式时,要先利用函数公式进行转化.所以我们可以改变,答案B,三看:移动方向 在学习中,移动的方向一般我们会简记为“左加右减”,其实,这样不理解的记忆是很危险的.上述规则不是简单地看y=Asin(x+)中的正负,而是和它的平移要求有关.正确的理解应该是:平移变换中,将x变换为x+,这时才是“左加右减”.,答案D,答案C,
