信号与线性系统第六章ppt课件

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1、.,信号与系统,第六章,.,第6章 离散信号与系统的变换域分析 6.1 Z变换 6.2 Z反变换 6.3 Z变换的性质 6.4 Z变换与拉氏变换的关系 6.5 离散系统的Z域分析 6.6 离散系统函数与系统特性 6.7 离散信号与系统的频域分析 6.8 数字滤波器的一般概念 习题6,.,第6章 离散信号与系统的变换域分析 上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行，即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样，离散信号与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换和Z变换分析。 本章首先讨论

2、与拉普拉斯变换(LT)相对应的Z变换(ZT)分析。利用Z变换把时域的差分方程变换成Z域的代数方程，从而使离散系统分析变得相当简便。然后，在此基础上讨论与傅里叶变换(CTFT，简称FT)相对应的离散时间傅里叶变换(DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率特性的概念。,.,6.1Z变换 Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的定义。 6.1.1 Z变换的定义 离散信号（序列） 的Z变换可直接定义为 （6.1-1） 即是（z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是f(k)的值。式（6.1-1）称为f(k)的Z变换式，为了方便，上式还常简写为,.,离散信号的Z变换的定义也可以由取样信号的

3、拉氏变换引出。一个连续信号f(t)以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号fS(t)，可表示为 （6.1-2） 也就是说，取样信号fS(t)可以表示为一系列在t = kT 时刻出现的强度为 (kT) 的冲激信号之和。其中为连续信号 f(t) 在 t = kT时刻的值，是一个离散序列。 取样信号的拉氏变换为,（6.1-3）,.,取新的复变量 z，令 ，或 （6.1-4） 则式（6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即 （6.1-5）,.,这就是离散信号或的Z变换表达式，可见，离散信号f(k)的Z变换是取样信号fS(t)的拉氏变换FS(s)将变量s代换为变量 的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）

4、反映了连续时间系统与离散时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为因果序列，即 k 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 的部分，则有 （6.1-6） 式中，k的取值是从0到，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换，F(s)称为f(k)的象函数； f(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边Z变换。 6.1.2 Z变换的收敛域 无论是按式（6.1-1）定义的双边Z变换，还是按式（6.1-6）,.,定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收敛时，Z变换才有意义。例如因果序

5、列 a为正实数 的双边或单边Z变换为 （6.1-7） 显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。即级数收敛的充要条件为 （6.1-8） 根据等比级数的求和公式，式（6.1-7）才能以闭合式表示为,.,上述例子中z的取值z a称为F(z)的收敛条件。在Z平面（复平面）中， F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域ROC（Region of Convergence）。收敛条件z a ，在Z平面中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域，半径a称为收敛半径，如图6.1-2（a）中的阴影部分。可见，对于单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换

6、收敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况要复杂一些。例如 双边Z变换为,.,上式后一级数收敛条件已经讨论过，为z a ，前一个级数 的收敛条件为 ，即z b ，则无收敛域，Z变换也就不存在。 值得注意的是，即便是同一个双边Z变换的表达式，其收敛域不同，则可能对应于两个不同的序列。 可见，双边Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确定其对应的时间序列。 由复变函数理论可知，Z变换的定义式是一罗朗级数，在收敛域内是解析函数。,.,6.1.3 常见序列的单边Z变换 1. 单位函数 （6.1-10） 可见，与连续时间系统单位冲激函数的

7、拉氏变换类似，单位函数的Z变换等于1，收敛域为整个Z平面。 2. 单位阶跃序列 （6.1-11） 其收敛域为z a。,.,3. 指数序列 由前面讨论 其收敛域为z a 。当 时 （6.1-12） 其收敛域为z 。 4. 单边正弦序列和单边余弦序列,.,6.2Z反变换 利用Z变换可以把时域中对于序列f(k)的运算变换为Z域中对于F(z)的较为简单的运算。然后将Z域中的运算结果再变回到时域中去。由已知F(z)求f(k)的运算称为Z反变换，或Z逆变换。记为 Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。 6.2.1 幂级数展开法 由Z变换的定义,.,

8、若把已知的F(z)展开成z-1的幂级数，则该级数的各系数就是序列f(k)的值。 F(z)一般为变量z的有理分式，展开为幂级数时，可以用代数学中的长除法，即将分子和分母多项式按z的降幂排列，然后将分子多项式除以分母多项式所得的商式，即为以z-1的幂级数。 在实用中，如果只需要求序列的前几个值，长除法就很方便。使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。 6.2.2 部分分式展开法 一般Z变换式是有理分式 （6.2-1）,.,F(z)的零点和极点的定义与拉氏变换相同，零、极点的图形表示也与拉氏变换一样。 对于单边Z变换，即 k R ，包括z = 处，故F(z)的分母多项式的最高幂次不能低于分子多项式的最

9、高幂次，即必须满足 。 类似于拉氏变换中的部分分式展开法，由于Z变换最基本的形 式是 1 和 ，因此，通常不是直接展开F(z) ，而是展开 F(z) /z；然后，每个部分分式再乘以z。 6.2.3 围线积分法(留数法),.,单边Z反变换的积分公式可以直接从Z变换的定义式推导出来。由 （6.2-6） 式（6.2-6）叫做Z反变换的积分公式，是Z反变换的一般表达式，由于围线C包围了的所有孤立奇点(极点)，故此积分式可运用留数定理来进行运算，所以又称为留数法，其表达式为 （6.2-7） 式中，pm是围线C内F(z)zk-1的极点， Res.为极点pm的留数。,.,6.3 Z变换的性质 求一个序列的Z

10、变换最基本的方法是按定义进行几何级数的求和。当序列较复杂时，这种方法会很不方便。为此，我们从另一个途径出发，弄清Z变换的性质，即序列时域和Z域间的关系，可以由一些简单序列的Z变换导出复杂序列的Z变换，由此简化Z变换及Z反变换的运算。由于Z变换的不少性质与拉氏变换的性质相似，从而能进一步地理解Z变换。 由于我们所讨论的是单边Z变换。因此不存在圆内收敛或圆环收敛问题。如果F(z)收敛，它必然是在某一圆外，所不同的是圆的大小而已。因此，如无特殊需要，我们都省去对它的收敛域的标注。 1. 线性 Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据Z变换的定义即可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当。,.,2. 移序

11、(移位)性 这一性质又称左移序性质，与拉氏变换的时域微分性质相当。 这一性质又称右移序性质，与拉氏变换的时域积分性质相当。 将上述性质加以推广，有 Z变换的移序性质能将关于f(k)的差分方程转化为关于F(z)的代数方程，它对简化分析离散时间系统起着重要的作用。,若,则,若,则,.,3. 比例性（尺度变换） 4. Z域微分 5. 时域卷积定理 时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的Z变换，等于这两个离散函数的Z变换的乘积，对该乘积进行Z反变换就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积定理具有完全相同的形式，它们在联系时域和Z域的关系中起着十分重要的作用。,若,则,若,则,若,则,

12、.,6. 序列求和 利用时域卷积定理，可以得到序列求和的Z变换式。 7. 初值定理 且 存在； （6.3-16） 8. 终值定理 若 ，且 f(k) 的终值 f() 存在， 则 （6.3-19）,若,则,若,则,.,例6.3-9说明： 当a 1时，的终值为无穷大，当a = 1 时，的终值为不定值，可见应用终值定理是有条件的。为了保 证 f() 存在， (z-1)F(z)的极点必须处在单位圆的内部， 或者F(z)除了在z = 1 处允许有一个一阶极点外，其余极点必须单位圆内部。否则终值定理是不成立的。 Z变换的初值和终值定理分别与拉氏变换的初值和终值定理相当，应用这两个性质使我们无需求出f(k)

13、，直接由F(z)求取的两个特殊值 f(0) 和 f() 。 9. Z域积分,若,则,同理,.,6.4 Z变换与拉氏变换的关系 在定义Z变换时已经知道，离散函数 f(k) 的Z变换 F(z) 是连续函 f(t) 经过理想取样所得到的取样函数 fS(t) 的拉氏变换FS(s) ，并将变量 s 代换为变量 z=esT 的结果。而且在前面曾多处提到Z变换与拉氏变换的相似之处，可见这两种变换并不是孤立的，它们之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。 这就是由连续函数的拉氏变换直接求相应的离散函数的Z变换的关系式。式（6.4-2）积分可以应用留数定理来计算，即,（6.4-3）,（6.4-2）,.,Z

14、变换和拉氏变换之间的关系还可以由两者在Z平面和S平面极点间的映射关系得到更深入的了解。 设S平面中的极点 则Z平面中的极点 得 （6.4-5） 这就是Z平面中的极点的模和幅角分别与S平面中的极点的实部和虚部的关系。,.,若 ，则 ，即位于S平面的虚轴上的极点映射到Z平面的单位圆上； 若 ，则 ，即位于S平面左半平面的极点映射到Z平面的单位圆的内部； 若 ，则 ，即位于S平面右半平面的极点映射到Z平面的单位圆的外部。 特别是S平面原点 的极点映射到Z平面的 。 需要注意，S平面中的单极点映射到Z平面中并不一定是单 极点，这是因为S平面中具有同样实部而虚部相差 的 两个极点（或相差 整数倍的m个极点）映射到Z平面中的 极点都是相同的。,.,反之，Z平面到S平面的映射是多值的。Z平面上一点 映射到S平面的无穷多点 S平面和Z平面之间的映射关系如图6.4-2所示，S平面中的极点 a 和 b 分别映射到Z平面中的 a 和 b ，S平面中的极点 c, d, e 具有相同的实部而虚部相差 （或其倍数），映射到Z平面是同一点 c= d= e 。,.,6.5 离散系统的Z域分析 与连续时间系统的拉氏变换分析相类似，在分析离散时间系统时，可以通过Z变换把描述离散时间系统的差分方程转化为代数方程。此外，Z域中导出的离散系统函数的概念同样能更方便、深入地