《1469编号第一章《直角三角形的边角关系》(拓展)《巡逻艇怎样才能在最短的时间内追上走私船》(北师大版初三下)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1469编号第一章《直角三角形的边角关系》(拓展)《巡逻艇怎样才能在最短的时间内追上走私船》(北师大版初三下)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、O a C D AB 图1-24 第一章直角三角形的边角关系 （拓展） 巡逻艇怎样才能在最短的时间内追上走私 船 （北师大版初三下） 【实践与探究】 巡逻艇如何样才能在最短的时刻内追上走私船 在A处待命的我海防巡逻艇发觉在东北方向距其9 海里的B处有一不明国籍 的走私船，我海防人员赶忙发出警告. 然而走私船不仅不停车，反而调转船头以 每小时 20 海里的速度沿南偏东75方向向公海逃跑，我艇赶忙以每小时28 海里 的速度前往拦截. 咨询：我艇应沿什么方向才能在最短的时刻内追上走私船？ 这是一道解斜三角形的咨询题. 这类咨询题我们通常将其转化为解直角三角 形来解决，然而，有些咨询题却无法转化或转化
2、后解答十分繁琐. 而借助正弦定 理和余弦定理却能轻松获得解决. 为此，我们先来了解一下互为补角的两角正弦、余弦函数 之间的关系 . 如图 1-23 ，设以x轴正方向为始边的角的终边上一点 P的 坐标为 x，y ，记POx =. 点P是点P关于y轴的对称点， 那么POx = 180 -,OP = OP = ryx 22 . 因此sin= r y ，cos= r x . 及 sin (180-) = r y ，cos (180 -) = r x . 由于点P在第一象限，因 此x 0 ，y 0. 故 sin= r y 0, cos= r x 0. 由于点P在第二象限，因 此x 0 ，y 0, cos
3、(180-)= r x 0. 据此可 知，互补两角的正弦、余弦函数有以下关系： sin (180-) = sin， cos (180-)= - cos. 下面我们来证明正弦定理. ABC内接于O，假设A为锐角，如图1-24 ，作O的直径CD，连接BD， 那么D = A，DBC = 90 ，设CD = 2R. 在 RtCBD中， sinD = BC CD = a 2R ， sinA = a 2R . 那么R A a 2 sin . 假设A为钝角，如图1-25，那么A + D = 180 ， CBD = 90 . 在 RtCBD中， sinD = BC CD = a 2R ，D = 180 - A
4、 sinA = sin (180- A) = sinD = a 2R . 那么R A a 2 sin . 假设A为直角，那么a = 2R，明显有R A a 2 sin . 综 上 所述 ， 不论 A是锐 角 、钝 角 依旧 直 角，总有 R A a 2 sin 成立 . 图1-25 B A D C a O 图1-26 BA D C a 类似地，亦总有 R B b 2 sin ，R C c 2 sin 成立 . R C c B b A a 2 sinsinsin . 这确实是正弦定理. 我们再来证明余弦定理. 在ABC中，假设A为锐角，如图1-26 ，过C作CDAB于D，那么由勾股 定 75 4
5、5 图1-28 B A C 理，得BC 2 = BD 2 + CD 2 = ( ABAD) 2 + CD 2 = AB 2 2ABAD + AD 2 + CD 2. AD 2 + CD 2 = AC 2，AD = ACcosA， BC 2 = AB 2 + AC 2 2ABAC cosA. 即a 2 = b 2 + c 2 2bc cosA. 在ABC中，假设A为钝角，如图1-27，类似地，由勾股定理，得 BC 2 = BD 2 + CD 2 = ( AB + AD) 2 + CD 2 = AB 2 + 2 ABAD + AD 2 + CD 2. = AB 2 + AC 2 + 2 ABAD.
6、 AD = AC cosCAD = ACcos (180 - BAC) = - ACcosBAC， BC 2 = AB 2 + AC 2 2ABAC cosBAC. 即a 2 = b 2 + c 2 2bc cosA. 假设A为直角，那么cosA= cos90= 0. 由勾股定理， 得 a 2 = b 2 + c 2 2bccosA. 综上所述，不论A是锐角、钝角依旧直角，总有a 2 = b 2 + c 2 2bccosA 成立 . 同理可证： b 2 = a 2 + c 2 2accosB，c 2 = a 2 + b 2 2abcosC. 这确实是余弦定理. 有了这些知识以后，我们再来解决开
7、头提出的咨询题. 如图 1-28 ，设巡逻艇只用x小时就在C处截住了走私船，那么BC= 20 x海里， AC = 28x海里 . 又由题意知AB = 9 海里，ABC = 120 . 在ABC中，由余弦定理，得 AC 2 = AB 2 + BC 2 2ABACcosABC. 即 (28x) 2 = 92 + (20 x) 2 - 2 920 xcos120. 解那个方程，得x1 = 4 3 ，x2 = 32 9 不合题意，舍去. AC = 21 海里，BC = 15 海里 . 又在ABC中，由正弦定理，得 ABC AC BAC BC sinsin ， sin BAC = 6186.0 21 8
8、66.015 21 60sin15 21 120sin15 BAC 38 12. 3812+ 45 = 83 12. 因此，巡逻艇沿北偏东83 12的方向追赶，可只用45 分钟截住走私船. 【阅读与观赏】 同角三角函数的差不多关系 除了我们学习过的三个三角函数之外，还有三个三角函数，它们分不是我们 学习过的三个三角函数的倒数，即 sec= 1 cos 正割， csc= 1 sin 余割， cot= 1 tan 余切 . 这六个三角函数之间有如下关系如图1-29 ： 1倒数关系对角线两端两函数的乘积为1； sincsc= 1 ，cossec= 1 ，tancot = 1. 2乘积关系周界上任一函数等于它相邻两函数 之积；如 sin= tancos，tan= sinsec csc= cotsec， 3平方关系在有阴影的三角形中，两上角顶上 的函数的平方和等于下角顶上函数的平方. 纠正错解 课后点评 图1-27 B AD C a 1 cscsec cottan cossin 图1-29 1cossin 22 ， 22 sec1tan， 22 csc1cot.
