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1、第三章：中值定理与导数的应用3.1 中值定理本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo定理：Rollo定理：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 a,b 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=0.证明：由（i）知f(x)在a,b上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)M=m，0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f()0。（2）
2、Mm,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值。下面来证明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定义知：f()= .(*)因为为最大值，对有 f(x) Mf(x)M0,当x时，有0当x0）。解：。【例5】 求，（n为正整数，）。解：。注 1：例5中的可推广到任意正数； 2：例4例5说明当时，都是无穷大量，但较高阶，较高阶，不妨用以下记号表示：。【例6】能否用法则？解：若用法则，则有 不存在， 但。这说明对本题法则不适合，这是为什么？这是因为定理的第三个条件不满足。【
3、例7】 （型）。【例8】 （型）。取对数【例9】 （型，同上）。 3、3 Taylor公式 多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在2、8中，我们已见过： 等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。 设在的某一开区间内具有直到阶导数，试求一个多项式 (1)来近似表达，并且和在点有相同的函数值和直到阶导数的各阶导数，即：。 下面确定的系数，通过求导，不难得到 (2)这个即为所求。Taylor中值定理：如果函数在的某区间内具有直到阶的导数，则当时，可表示为的一个多项式和一个余项之和： (3)其中 （介于
4、与之间）证明：令， 下证在与之间，使得： 由于有直到阶导数，为多项式，故在内有直到阶导数，并且。现对函数和在以和为端点的区间上应用Cauchy中值定理， （在与之间） （介于与之间）如此继续下去，经过次后，一个介于与之间，使得 ， 显然介于与之间。一般地，记号 又因为 而为次多项式，故当 或 （介于与之间）。注1：（3）式称为按的幂展开到阶的Taylor公式，的表达式（4）称为Lagrange型余项； 2：当时（3）变为： （介于与之间），这就是Lagrange公式； 3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式来近似表达，所产生的误差为，再由（4）式，不难看出：若在上，有，则有：，此时，即 4：
5、若特别地，取，这时（3）式变为： （5） 这里 （介于与之间），我们称（5）为的Maclourin公式。【例1】 求的Maclourin公式。解： ， 又所以 ，令代入（5）式得：。【例2】 求的Maclaurin公式。解： ，当1，5，9，13，时，当2，6，10，14，时，按（15）式，得： 其中：。注：。同理有：， 其中：。【例3】求的Maclourin公式。解：其中：， （）【例4】求的Maclourin公式。解：。 3、4 函数单调性的判定法 单调函数是函数中的一个重要部分，从图形上看，单调增加（减少）函数是一条沿轴正向上升（下降）的曲线，曲线上各点处切线斜率都是非负的（非正的），即
6、 单增，则，若单减，则。 下面来证明反之亦成立，设在上连续，在内可导，在内任取两点，在区间上应用Lagrange中值定理，故在内至少存在一点，使得：，因为 与同号，（i）若在内，则有，即，此时，单增；（ii）若在内，则有，即，此时，单减；综和上述正反两方面，得：判定法：设在上连续，在内可导，则： （1）在上单增的充要条件是； （2）在上单减的充要条件是。注1：此“单增”或“单减”与课本上的意义有些区别，它是指：若，则有“”或“”或称“不减”或“不增”。而对时，有 “”或“”时，称为“严格单增”或“严格单减”。在不特别要求下，也可称为“单增”或“单减”。 2：若在内有，则在上严格递增（严格递减）； 严格递增（i）； （ii）在任何子区间上。 3：可换成其它任何区间，包括无穷区间，结论成立。
