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1、常微分方程辅导（二）第二章 基本定理 1知道线素与线素场的概念，理解解的存在与唯一性定理的条件、结论，理解其证明方法解的存在与唯一性定理的条件： 方程的右端函数（1）在闭矩形域上连续；（2）在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式： 结论： 初值问题 在区间上存在唯一解 。其中。 2了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希兹条件，理解解的延展定理，了解其证明方法 3了解奇解定义、包络线概念，掌握不存在奇解的判别法、包络线的C-判别式，掌握奇解的包络线求法 （1）不存在奇解的判别方法： 若方程在全平面上解唯一，则方程不存在
2、奇解； 若不满足解唯一的区域上没有方程的解，则方程无奇解（2）求奇解的包络线求法 若L是曲线族的包络线，则其满足C判别式 在非蜕化条件下，从C 判别式解出的曲线是曲线族的包络线 4掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法本章重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。下面结合作业给出一些例题解析。例1试绘出下列方程的积分曲线: 解 （1） 第（1)题 （2） 第（2)题例2判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一?（1) （2) 解 （1) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一.（2) 因为及在整个
3、平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一. 例3讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件。并求通过的一切解.解 因为方程在整个平面上连续, 除轴外, 在整个平面上有界, 所以除轴外在整个平面上都满足定理2.2的条件. 而后分离变量并积分可求出方程的通解为 其中 另外容易验证是方程的特解. 因此通过的解有无穷多个, 分别是: 例4试用逐次逼近法求方程满足初值条件的近似解.解 , 例5试证明：对任意的及满足条件的, 方程的满足条件的解在上存在. 证明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件. 现在考虑过初值 ()的解
4、, 根据唯一性, 该解不能穿过直线和. 因此只有可能向左右两侧延展, 从而该初值解应在上存在. 例6设在整个平面上连续有界, 对有连续偏导数, 试证明方程的任一解在区间上有定义.证明 不妨设过点分别作直线 和 .设过点的初值解为. 因为, 故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下, 之上.下证曲线不能与直线相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾证明曲线不能与直线相交. 同理可证, 当时, 它也不能与相交. 故当 时解曲线位于直线, 之间.同理可证, 当时, 解曲线也位于直线, 之间. 由延展定理, 的存在区间为。 例7判断下列方程是否有奇解? 如果有奇解,
5、求出奇解, 并作图. （1） （2) 解 （1） 因为在半平面上连续, 当时无界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程无奇解. （2） 因为在的区域上连续, 当时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是 显然是方程的解, 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解 由此可见对于轴上点 存在通过该点的两个解: 及 故是奇解. (如图2-1所示)图2-1 例8求一曲线, 具有如下性质: 曲线上任一点的切线, 在x, y轴上的截距之和为1.解 首先, 由解析几何知识可知, 满足 的直线都是所求曲线.设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为.显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故.解出y, 得到克莱洛方程,通解为 所以 , 即 为所求曲线方程. 例9求一曲线, 此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于a.解 设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为.显然有 此处a与b分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故,即. 解出得 故曲线的方程为消去即的曲线方程为 .6
