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1、1初三同步辅导材料（第 4讲）一元二次方程主讲：何炳均（南京市一中 高级教师）一、教学进度：第十二章 一元二次方程 12.3 一元二次方程的根的判别式12.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2能根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值或取值范围和进行有关的证明；3熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；4会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和；二、重点、难点剖析1一元二次方程的根的判别式是学习一元二次方程的主要内容之一一般地说，学习时的难度并不大，但有几个问题要
2、弄清楚：(1)对于方程 ax2bx c 0( a0)，代数式 b 4ac 叫做根的判别式，用“b 4ac ”表示写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为标准形式，凡不是标准形式的一元二次方程，都应当通过去括号、移项、合并等步骤化为标准形式.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为，因此对于被开方数 来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。当 时，方程有两个不相等的实数根。即 当 时，方程有两个相等的实数根，即 。当 时，方程没有实数根。(2)判别式的作用是可以由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等
3、的实数根和没有实数根.必须指出的是：判别式与判别式的值是有区别的，判别式是一个代数式，我们确定方程根的情况是用它的值去判定；判别式的作用只是判别根的情况(指有无实数根)，而不能确定实数根的值如方程3x22x50，根据(2) 43(5)460640，可确定此方程有两个不相等的实数根，至于这两个根是什么数，还是要通过解方程去求得虽然判别式不能确定方程的根的大小，但由于对方程根的情况清楚了，显然对解题是有帮助的，如对于整系数方程 3x 2x 5 0 由于64 是一个完全平方数，因此可判断方程的根是有理数,因而我们解此方程时可以直接运用十字相乘方法把方程分解为两个一次方程：x10,或 3x50，同样，
4、如2果0，那么方程 ax bxc 0( a0)有两个相等的实数根，x 1x 2 方程的根为abx1x 2 其实 ,此时方程的左边可以化为一个完全平方式 : 242 )1(x2.由方程 ax 2bx c 0(a0) 的求根公式 x 1,2 (b2 4ac0)acb2不难得到 x 1x 2 , x1x2 . 这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦达定理).bc在学习和应用上述定理时要注意以下几点:1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式 ax2bxc 0(a0);2.运用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不仅可求出
5、方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现 x1x 2 这样的错误.ab三、典型例题例 1 m 取什么值时，方程 3x 2(3m 1)x 3m 10(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解 2(3m1) 43(3m 1)24 m16当24m160，即 m 时，方程有两个不相等的实数根；2当24m160，即 m 时，方程有两个相等的实数根；当24m160，即 m 时，方程没有实数根3例 2 已知方程 x (3a)x(3ab )0 有两个相等的实数根，求实数 a 与 b 的值解 方程有两个相等的实数根，(3a)
6、 4(3ab )a 6a912a4b (a3) 4b 0由非负数的性质得 a3,b0(为求 a、b 值就要寻求关于 a、b 的等式，根据方程根的判别式的取值情况即可得到等式或不等式，这里分析利用非负数的性质是解题的关键)例 3 当 a、b 为何值时，方程 x2(1a)x(3a 4ab4b 2)0 有实数根?方程有实数根，这句话的含义，是指方程有不相等或相等的两个实数根，即0解 方程有实数根，0，即2(1a) 4(3a 4ab4b )0整理后可得(1a) (a2b) 20(1a) 20,(a2b) 0，上述不等式只能有成立，即1a0 且 a2b0，则 a1,b 1例 4 判别下列关于 x 的二次
7、方程 2(m1)x 4mx(2m1)0 的根的情况分析不难看出，这是与判别式有关的问题，但有两点应当引起注意：(1)二次方程的二次项系数不为零，即 2(m1)0,m 1；(2)根的情况还不知道，需要去探求，它取决于判别式的值是正数、零或是负数3解 (4m) 4 2(m1)(2m1)8m8；又 2(m1)0，即 m1；8m8 0 m 1，即 m1 且 m1 时，方程有两个不相等的实数根；8m8 0 m 1，即 m1 时，方程有两个相等的实数根；8m8 0 m 1，即 m1 时，方程没有实数根提醒大家，(1)的解答中，且 m1 的条件是不可少的，因为数1 在 m1 的范围内；而(2)、(3)的解答
8、中，若在解答中写上“且 m1”就不对了，因为 m1 不在 m1 的范围内例 5 当 m 为何值时，关于 x 的二次三项式 x 2(m4)xm 6m2 是完全平方式? 分析 我们已讲过，当0 时,方程 ax bx c0(a0)有两个相等的实数根，也就是方程的左边 ax bxc 是个完全平方式 :a(x )2,因此这类问题仍然与判别式有关b解 当方程 x 2(m 4)xm 6m20 有两个相等的实数根时，原二次三项式是完全平方式令2(m4) 4(m 6m2)0整理后得 56m 560m1则当 m1 时，原二次三次式是完全平方式例 6 求证：方程 x (m 1)x 0 必有两个不相等的实数根2解这类
9、题时，常常会出现这样的错误：0，(m 1) 4 0，即 m 10.方程必有两个不相等实数根.这是不可忽视的错误(实际是逻辑上的错误)，为什么这样做是错的呢?这是由于 0 不是题中已经给出的明显条件，而是要你说出0 的道理，只有把道理讲清楚，才能表明结论正确，这与几何的证明题是十分相似的证明 (m1) 2m m 1而不论 m 为任何实数，总有 m 0则 m 10 ，即0,原方程必有两个不相等的实数根.例 7 已知 a、b、c 是ABC 的三边，且方程 b(x 1)2axc(x 1)0 有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状分析 这是一道代数、几何知识的综合题，解题前应当明确：(1)从条件知，问
10、题与判别式有关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程化为标准形式；(2)判断ABC 的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断解 将原方程化为 (cb)x 2ax (cb)0.方程有两个相等的实数根，(2a) 4(cb)(cb)0；即 a b c ；ABC 是直角三角形例 8 已知一元二次方程 ax2bxc 0(a0)中，b0, c0,则( ).(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大(1)当(2)当(3)当4解 a0,c0，ac 0, b 2ac 0.故方程必有两个不等的实数根
11、 .由 x1x2 0,知 x ac1、x 2两根异号 ,故排除(A )、 (B),又 x1x 2 0,故负根的绝对值较大 , 选(D).ab评析 本例中，条件 a0, c0 是方程有实数根的隐含条件.这一点在解题时要引起重视,一般地,当 ac0 时,方程有一个正根和一个负根.(想一想,为什么?)例 9 如果 2 是方程 x2 4xc 0 的一个根,不解方程 ,求方程的另一个根及 c 的值.3解 设方程的另一个根为 x1,根据根与系数关系,得x1(2 )4 x1(2 )c 由得 x12 ,则 c(2 )(2 )133 方程的另一个根及 c 的值分别为 2 和 1.注：也可将 x12 代入方程求得
12、 c，再由或式求出 x 例 10 设 x1、x 2是方程 2x2 3x 10 的两根,不解方程,求 的值.121解 x 1、x 2是方程 2x23 x 10 的两根, x 1x 2 , x1x2 .则 21)1(21x )()(212xx 1)23(247这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如: x 12x 22(x 1x 2)2 2x1x2; ;212x; 12121 )(x1 x2)2(x 1x 2)2 4x1x2;(x1m)(x 2m ) x1x2m(x 1x 2)m 2等等.但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如 x13x
13、 22.例 11 k 为何值时,方程 x2 (2k 1)xk 2 10 有两个实数根,且两根互为倒数.分析 解这类问题,首先应当考虑二次方程是否有实数根,只有在有实数根的前提下,才能利用根与系数的关系.解 方程有实数根, (2k 1)2 4(k2 1)0,即 k .45设方程的两实数根为 x1、x 2，则根据题意得 x1x2k 2 11 k .2k 不满足 k ,舍去.2当 k 时,方程的两根互为倒数.例 12 已知 a、b 是方程 8x26mx2m10 的两个实数根,且 a2b 21,求 m 的值.5解 由根与系数关系得,ab m, ab .43812由已知得 a 2b 2(ab) 2 2a
14、b1 即:( m)2 2 1438整理后得 9m 2 8m 200. 解得 m 12, m 2 .90当 m2 时,原方程即 8x212x50,其判别式12 2 4850, m 2 舍去;当 m 时,原方程即 72x2 60x 110,其判别式60 247211010所求的 m 的值为 .910例 13 已知 a2a 10,b 2b 10(ab). 求 a2bab 2的值.分析 从已知条件可以看出，a、b 是方程 x2x10 的两根，由于 a2bab 2ab(a b)，故而所求代数式系 a、b 两数积与两数和的积，这就容易联想到二次方程的根与系数的关系.解 由已知条件可知,a、 b 是方程 x2x 10 的两个不等的
