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1、- 1 -中考数学压轴题大集合（二）17.（2005 浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，C 与 y 轴相切于 D点，与 x 轴相交于 A（2，0） 、B（8，0）两点，圆心 C 在第四象限.（1）求点 C 的坐标；（2）连结 BC 并延长交C 于另一点 E，若线段 BE 上有一点 P，使得AB2BPBE ，能否推出 APBE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线 BE 上是否存在点 Q，使得 AQ2BQEQ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，也请说明理由 .解 （1） C（5，-4） ； （2）能。连结 AE ，BE 是O 的直径， BAE=90. 在ABE 与PBA 中，AB 2
2、BP BE , 即 , 又ABEPABE=PBA,ABEPBA . BPA=BAE=90, 即 APBE . （3）分析：假设在直线 EB 上存在点 Q，使 AQ2BQ EQ. Q 点位置有三种情况：若三条线段有两条等长，则 三条均等长,于是容易知点 C 即点 Q；若无两条等长，且点 Q 在线段 EB 上，由 RtEBA 中的射影定理知点 Q 即为 AQEB 之垂足；若无两条等长，且当点 Q 在线段 EB 外，由条件想到切割线定理，知 QA 切C 于点 A.设Q( ),并过点 Q 作 QRx 轴于点 R,由相似三角形性质、切割 线定理、勾股定理、三角函)(,ty数或直线解析式等可得多种解法.
3、解题过程： 当点 Q1 与 C 重合时，AQ 1=Q1B=Q1E, 显然有 AQ12BQ 1 EQ1 ,Q1(5, -4)符合题意； 当 Q2 点在线段 EB 上， ABE 中，BAE=90点 Q2 为 AQ2 在 BE 上的垂足， AQ2= = 4.8（或 ）.1048BEA52Q2 点的横坐标是 2+ AQ2 BAQ2= 2+3.84=5.84,- 2 -又由 AQ2 BAQ2=2.88,sin点 Q2（ 5.84， -2.88）, 257146，或方法一 ：若符合题意的点 Q3 在线段 EB 外,则可得点 Q3 为过点 A 的C 的切线与直线 BE 在第一象限的交点.由 RtQ3BRRt
4、EBA， EBA 的三边长分别为 6、8、10,故不妨设 BR=3t，RQ 3=4t，BQ 3=5t, 由 RtARQ3RtEAB 得 ， ABRQE即 得 t= ，648t718注:此处也可由 列得方程433AEBtgRQtg； 或由 AQ32 = Q3BQ3E=Q3R2+AR2 列得方43t程 )等等6510ttQ3 点的横坐标为 8+3t= ， Q3 点的纵坐标为 ，7107即 Q3（ ， ）. 72方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE 过 B(8, 0), C(5, -4), 直线 BE 的解析式是 . 24xy设 Q3（ ， ）,过点 Q3 作 Q3Rx 轴于点 R, t24易证
5、 Q3AR =AEB 得 RtAQ3RRtEAB, , 即 ,EABR862tt= ,进而点 Q3 的纵坐标为 ，Q 3（ ， ） . 71071072方法三：若符合题意的点 Q3 在线段 EB 外,连结 Q3A 并延长交 轴于 F,yQ3AB =Q3EA， ,4EBtgAtgOFt在 R tOAF 中有 OF=2 = ，点 F 的坐标为（0， ）,422可得直线 AF 的解析式为 , - 3 -又直线 BE 的解析式是 ,324xy可得交点 Q3（ ， ）. 71018.（2005 上海长宁）如图 1，抛物线关于 y 轴对称，顶点 C 坐标为（0，h ）(h0)， 交x 轴于点 A（d,0）
6、 、B（-d,0） （d0 ） 。（1）求抛物线解析式（用 h、d 表示） ；（2）如图 2，将 ABC 视为抛物线形拱桥，拉杆均垂直 x 轴，垂足依次在线段 AB的 6 等分点上。h=9 米。(i )求拉杆DE 的长度；(ii)若 d 值增大，其他都不变，如图 3。拉杆DE 的长度会改变吗？(只需写结论)（3）如图 4，点 G 在线段 OA 上，OG=kd（比例系数 k 是常数，0k1） ，GFx 轴交抛物线于点 F。试探索 k 为何值时，tgFOG= tgCAO？此时点 G 与 OA 线段有什么关系？解 （1）用顶点式，据题意设 y=ax2+h代入 A（d，0）得 a= 2dhy= x2+
7、hh(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得 y= x2+99d据题意 OE= d，设 D（ d，y D）3点 D 在抛物线上，y D= ( d)2+9=5，DE=5 米。3(ii) 拉杆DE 的长度不变。（3）OG=kd ， 点 F 坐标可设（kd，y F）代入 y= x2+h ，得：dhyF= h(1k 2) tgFOG= tgCAO ， =kdh)1(2解得 （000y02qpx设 的两根为 ，2qpx12则 + ，12x2121214xxxd qp4223.（2006 上海浦东）已知：二次函数 图象的顶点在 x 轴上12)1(mxny（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理
8、由；（2）求证：函数 的图象与 x 轴必有两个不同的交点；)(2xxmy（3）如果函数 的图象与 x 轴相交于点 A（x 1，0） 、B（x 2，0） ，与12ny 轴相交于点 C，且ABC 的面积等于 2求这个函数的解析式解 （1）二次函数 图象的顶点在 x 轴上，)(mxy ， 0n0142n 12m又 ， 00n这个函数图象的开口方向向上 （另解：这个二次函数图象的顶点在 x 轴上，且与 y 轴的正半轴相交， 这 个函数 图象的开口方向向上 （2） ，这个函数是二次函数 02m24)1(n ， ， 02 0)1(2n2m0函数 的图象与 x 轴必有两个不同的交点 )(2xxmy（3）由题
9、意，得 ， 2211n21m ， 2n)(x而 ，点 C 的坐标为（ 0，-1） 21xAB- 11 - 212x 41 164)2(4)()( 1212 mxxx 3m 1n所求的函数解析式为 132xy4.（2005 天津）已知二次函数 .cba（1）若 a =2，c = -3，且二次函数的图像经过点（-1，-2） ，求 b 的值；（2）若 a =2，b + c = -2，b c，且二次函数的图像经过点（p , -2） ，求证：b0；（3）若 a + b + c = 0，a b c，且二次函数的图像经过点（q , - a） ，试问当自变量 x = q +4时，二次函数 所对应的函数值 y
10、是否大于 0？请证明你的结论.xy2解（1）当 a = 2，c = -3 时，二次函数为 ，23xb该函数的图像经过点（-1， -2） ， ，解得 b=1. 213b（2）当 a = 2，b + c = -2 时，二次函数为 2yxb该函数的图像经过点（p，-2 ） ， ，即220pb于是，p 为方程 的根，2x判别式= 8()b又 b + c = -2， b c，b -b -2，即 b -1，有 b + 8 0 .0（3）二次函数 的图像经过点（q，- a）,cxay2 .20aqbcq 为方程 的根，2q于是，判别式= 4()- 12 -又 0abc = 24()(3)0abc又 ， 且
11、a b c，知 a 0，c 0bq 为方程 的根，2x 或 .4ab24baq当 时， xq22481648155yabcqqcab若 ，则24ba.2 281544byaba a b 0， ，即 ，2224+=p25+p245ba-+-f ()151540yaa-f f若 ，则2bq.2 2481540abyaab 当 时，二次函数 所对应的函数值大于 0. xqcxy25.（2006 江苏盐城）已知：如图，A （0,1）是 y 轴上一定点，B 是 x 轴上一动点，以 AB为边，在OAB 的外部作BAEOAB ，过 B 作 BCAB，交 AE 于点 C.(1)当 B 点的横坐标为 时，求线段
12、 AC 的长；3(2)当点 B 在 x 轴上运动时，设点 C 的纵、横坐标- 13 -分别为 y、x，试求 y 与 x 的函数关系式（当点 B 运动到 O 点时，点 C 也与 O 点重合） ；(3)设过点 P（0，-1）的直线 l 与(2) 中所求函数的图象有两个公共点 M1(x1，y 1)、M 2(x2，y 2)，且 x12+x226(x 1+x2)=8，求直线 l 的解析式解 (1)方法一：在 RtAOB 中，可求得 AB 32OABBAC，AOB ABC=Rt ，ABOABC， ，由此可求得：ACACBO4方法二：由题意知：tanOAB= 332BOBA， 由 勾 股 定 理 可 求 得
13、 34CtantaAC=3AO在 中 ， ， 可 求 得(2)方法一：当 B 不与 O 重合时，延长 CB 交 y 轴于点 D，过 C 作 CHx 轴，交 x 轴于点H，则可证得 ACAD，BD 23AOOB，ABBD ， ABOBDO ，则 OB2 AOOD，即 yx12化简得：y= ，当 O、B、C 三点重合时，y=x=0 ，y 与 x 的函数关系式为：y=42x 42x方法二：过点 C 作 CGx 轴，交 AB 的延长线于点 H，则 AC2(1y) 2+x2=(1+y)2，化简即可得。(3)设直线的解析式为 y=kx+b，则由题意可得： ，消去 y 得：x 2-4kx-4b=0，则有24
14、1xybk，由题设知：bxk421x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k) 2+8b-24k=8，且 b=-1，则 16k2-24k -16=0，解之得：k 1=2，k 2=，当 k1=2、b=-1 时，16k 2+16b=64-160，符合题意；当 k2= ，b=-1 时， 16k 2+16b=4-161 时，请写出一个反映 Sn-1,Sn,Sn+1 之间关系的等式（不必证明）BC A图甲- 37 -解（1） 正确画出分割线 CD （如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，CD 即是满足要求的 分割线，若画成直线不扣分）理由： B = B，CDB=ACB=90BCD ACB（2） DEF 经 N 阶分割所得的小三角形的个数为 n41 S = n410当 n =5 时,S = 9.77550S当 n = 6 时， S = 2.44 661当 n=7 时,S = 0.61 70当 n= 6 时,2 S 3 6S = S
