《高考数学复习全套课件 第二章 第一节 映射、函数及反函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习全套课件 第二章 第一节 映射、函数及反函数.ppt（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.了解映射的概念，理解函数的概念. 2.了解反函数的概念及互为反函数的函数图 象间的关系，会求一些简单函数的反函数.,1.函数与映射的概念,函数及相关概念,函数 定义,记法,设A、B是非空的 ，如果按某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.,yf(x)，xA,数集,唯一确定,函数及相关概念,定义域 和值域,定义域,值域,取值的范围,所有 构成的集合,表示法,、 和 .,分段 函数,在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的 ，这样的函数通常叫做分段函数,自变量,函数值,列表法,图象法,
2、解析法,对应法则,映射及相关概念,映射 定义,象与 原象,象,原象,是 在映射f下的象,称作 的原象,设A，B是两个 ，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个x，在B中 y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射,非空集合,有一个且仅有,一个元素,y,x,x,y,映射及相关概念,定义域 与值域,定义域,值域,A叫做映射f的定义域,所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,一一 映射,如果映射是集合A到集合B的映射并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都 一个原象，这时就说这两个集合间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射,有且只有,思考探究 映射与函数有什么区别？,提
3、示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集.,2.反函数 函数yf(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直 线 对称.,yx,1.若对应关系f：AB是从集合A到集合B的一个映射，则下面 说法错误的是 () A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素 B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能没有对应元素,解析：根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多.,答案：B,2.如图所示，可表示函数yf(x)
4、的图象的只可能是(),解析：A、B、C选项中都有“一对二”情形，不符合函数定义中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”，只有D符合函数定义.,答案：D,3.下列各组函数是同一函数的是 (),A.y 与y1 B.y|x-1|与y C.y|x| |x-1|与y2x1 D.y 与yx,答案：D,答案：f1(x)1 (x1),解析：设f(x)y(x1)21x1 ， 又x1， f1(x)1 ， f1(x)的定义域为x|x1.,4.函数f(x)(x1)21(x1)的反函数为.,5.设集合M和集合N都是点集(x，y)|xR，yR，映射f： MN，把M中的元素(x，y)映射成N中元素(xy，xy)，
5、 则象(2,1)的原象是.,答案：,对于映射f：AB的理解要抓住以下三点： 1.集合A、B及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个系统； 2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它 与从B到A的对应关系是不同的； 3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应.其要 点在“任意”、“唯一”两词上.,已知映射f：AB.其中ABR，对应关系f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之相对应，则k的取值范围是 () A.k1 B.k1 C.k1 D.k1,思路点拨,课堂笔记由题意，方程x22xk无实数根，也就是 x22xk0无实数根. (2)24k4(1k)0，k
6、1. 当k1时，集合A中不存在元素与实数kB对应.,答案A,若15B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？,解：15B， x22x15. 即x22x150 解之得x3或x5.,求函数解析式的常用方法 1.配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用g(x) 表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可； 2.换元法：设tg(x)，解出x，代入f(g(x)，得f(t)的解析式 即可；,3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般 形式，根据特殊值，确定相关的系数即可； 4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. 5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的
7、关系 式，通过解关于f(x)的方程组求f(x).,特别警示函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要说明函数的定义域.,(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式； (2)已知f( 1)x2 ，求f(x)的解析式.,思路点拨,(2)法一：设t 1，则x(t1)2(t1). 代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21. f(x)x21(x1). 法二：x2 ( )22 11( 1)21， f( 1)( 1)21( 11)， 即f(x)x21(x1).,若将(2)中的条件改变“f(x)2f( )3x”，求f(x)的解析式？
8、,解：f(x)2f( )3x， 以 代x，则f( )2f(x)3 . 由联立消去f( )得 f(x) x(x0). 故f(x) x(x0).,1.常用性质 (1)函数yf(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域；函数 yf(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域. (2)函数yf(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直线 yx对称；反之，若单调函数yf(x)和yg(x)的图象关于 直线yx对称，则函数yf(x)和函数yg(x)互为反函数.,(3)函数yf(x)的反函数仍为自身函数的充要条件是它自身 的图象关于直线yx对称. (4)设函数yf(x)(xA，yB)存在反函数yf1(
9、x)(xB， yA)，则f1(f(x)x(xA)，f(f1(x)x(xB). (5)若函数yf(x)是单调函数，则它的反函数yf1(x)的单调 性和原函数yf(x)的单调性相同.,特别警示(1)定义域上的单调函数必有反函数. (2)周期函数不存在反函数. (3)分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后 再合成.,2.求反函数的步骤是“一解”、“二换”、“三定义”.所谓一解，即 首先由给出的原函数的解析式yf(x)，反解出用y表示x的式 子xf1(y)；二换，即是将xf1(y)中的x，y两个字母互换， 得到yf1(x)即为所求的反函数(即先解后换)；三定义，即 求出反函数的定义域(即原函数
10、的值域).,求下列函数的反函数： (3)yx|x|2x.,思路点拨,课堂笔记(1)由于y 2 ，在x1时为减函数，故存在反函数. 又y ，得x 原函数值域为y| y2. 所求反函数为y ( x2),(2)x1，x210 y 0. 由y ， 得y2x21， x21y2， x1， x (y0)， f1(x) (x0).,(3)当x0时，yx22x，即(x1)2y1， x1 (y0). 当x0时，yx22x，即1y(x1)2. x1 (y0). x 所求反函数为y,以选择题的形式考查分段函数解析式的求法是高考对本节内容的常规考法.09年上海春季高考和全国分别以选择题的形式考查了反函数图象和互为反函数
11、的函数定义域、值域间的关系问题，是一个新的考查方向.,考题印证 (2009上海春考)函数y1 (1x0)的反函数图象是 (),【答案】 C,【解析】由函数y1 (1x0)， 得：x21(y1)2，又因为(1x0). 所以x ，因此y1 (1x0)的反函数为y (x1)，其图象为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆上x1，1y0的那部分.,自主体验 (2009全国卷)已知函数f(x)的反函数为g(x)12lgx (x0)，则f(1)g(1) () A.0 B.1 C.2 D.4,解析：g(1)1，又当g(x)12lgx1时，x1， 即f(1)1，则f(1)g(1)2.,答案：C,1.(2009湖北
12、高考)函数 的反 函数是 () A.y (xR，且x ) B.y (xR，且x ) C.y (xR，且x1) D.y (xR，且x1),解析：y 1 1， 其反函数的定义域为x|x1. y y2yx12xx 反函数的解析式为y,答案：D,2.若函数yf(x)的图象是一如图所示的一个四分之一的圆弧， 则函数yf1(x)是 (),A.y (5x0) B.y (0 x5) C.y5 (5x0) D.y5 (0 x5),解析：f(x)过(5，5)，f1(x)过(5,5)，排除A、B，又f(x)的值域是5,0， f1(x)的定义域是5,0，排除D.,答案：C,3.已知函数f(x) ，那么ff( )的值为
13、 () A.9 B. C.9 D.,解析：由于ff( )f(log2 )f(2)32 .,答案：B,4.(2009北京高考)已知函数f(x) 若f(x)2，则 x.,解析：依题意得x1时，3x2，xlog32， x1时，x2，x2(舍去)，故xlog32.,答案：log32,5.已知函数f(x)x22xa，f(bx)9x26x2，其中xR， a，b为常数，则f(axb).,解析：f(x)x22xa， f(bx)b2x22bxa9x26x2. 则 a2，b3. f(x)x22x2， 则f(axb)f(2x3)(2x3)22(2x3)2 4x28x5.,答案：4x28x5,6.已知定义域为R的函数
14、f(x)满足f(f(x)x2x)f(x)x2x. (1)若f(2)3，求f(1)；又若f(0)a，求f(a)； (2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)x0，求函数f(x)的解 析式.,解：(1)因为对任意xR有 f(f(x)x2x)f(x)x2x， 所以f(f(2)222)f(2)222， 又f(2)3，从而f(1)1. 又f(0)a，则f(a020)a020， 即f(a)a.,(2)因为对任意xR，有f(f(x)x2x)f(x)x2x， 又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)x0， 故对任意xR，有f(x)x2xx0. 在上式中令xx0，有f(x0)x x0 x0. 又因为f(x0)x0，所以x0 x 0， 故x00或x01.,2 0,2 0,若x00，则f(x)x2x，但方程x2xx有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x00. 若x01，则有f(x)x2x1， 易验证该函数满足题设条件. 综上，函数f(x)的解析式为f(x)x2x1.,
