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1、第四章 线性系统的能控性和能观测性,4.1 能控性和能观性的定义 4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据 4.3 连续时间线性时不变系统的能观性判据 4.4 对偶性 4.5 能控规范形和能观规范形 4.6 线性系统的结构性分解 4.7 Matlab问题 本章小结,本 章 简 介 本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质-状态能控性和能观性； 能控性和能观性判据； 对偶性 SISO线性时不变能控规范形和能观规范形； 能控性和能观性在状态空间模型的结构分解,该电桥系统中，电源电压u(t)为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和
2、x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。,例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。,图4-1 电桥系统,4.1 能控性和能观性的定义,由电路理论知识可知, 若图4-1所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4)，电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的，即状态变量x2(t)是不能控的，则系统是不完全能控的。,若图4-1所示的电桥系统是不平衡的， 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制，则系统是能控的。,由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时，可得如下状态方程:,由上述状态方程可知，状态变量
3、x2(t)的值，即电桥中电容C2的电压是自由衰减的，并不受输入u的控制。 因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。,例 考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。,当电阻R1=R2，电感L1=L2，输入电压u(t)=0，以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)且为任意值时，必定有i3(t)=0，即输出变量y(t)恒为零。 因此，由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)，即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。,该电网络模型中，
4、u(t)为输入电压， y(t) =i3(t)为输出变量，通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。,图4-2电网络,但当电阻R1R2或电感L1L2时，则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。,从状态空间模型上看， 当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为,当电路中电阻值R1=R2=R，电感值L1=L2=L时，若输入电压u(t)突然短路，即u(t)=0，则状态方程为 显然，当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值时，上述状态方程的解必有x1(t)=x2
5、(t)，故有y(t)=i3(t)=0，即输出变量y(t)恒为零。 因此，由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值，即由输出i3(t)不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)。,但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时，则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。 这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观，若不能惟一确定则称为状态不能观。,定义4-1 若线性连续系统 x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 对初始时刻t0(t0T，T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限
6、时刻t1(t1t0,t1T), 可以找到一个控制量u(t)， 能在有限时间t0,t1内把系,统状态从初始状态x(t0)控制到原点，即x(t1)=0, 则称t0时刻的状态x(t0)能控; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控，则称系统在t0时刻状态完全能控;,1.状态能控,若系统在所有时刻状态完全能控，则称系统状态完全能控，简称为系统能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能控的，简称系统为状态不能控。,系统能控,2.状态与系统能达,若存在能将状态 转移到 的控制作用 ，则称状态 是 时刻能达的。 若 对所有时刻都是能达的，则称状态 为完全能达或一致能达。若系统对
7、于状态空间中的每一个状态都是 时刻能达的，则称系统是 时刻状态能达的，简称系统是时刻 能达的。 线性定常系统能控等价能达，时变系统不能等价,对上述状态能控性的定义有如下讨论: （1）控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。 对时变系统，控制时间的长短，即t1-t0的值与初始时刻t0有关。 对于定常系统，该控制时间与t0无关。 所以，对于线性定常系统状态能控性，可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控”，而为“某一时刻状态完全能控，则系统状态完全能控”。,定义的几点解释,（2）在上述定义中，对输入u(t)没有加任何约束，只要能使状态方程的解存在即可。其中无约束表示对输入
8、幅值不加限制。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数，则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件，在工程上是很容易满足的。 （3）在状态能控性定义中，对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。 在实际工程系统中，输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间，因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。,定义4-2 若线性连续系统,对初始时刻t0(t0T，T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T)， 根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输出y(t), 能够唯一地确定系统在t0时刻的初始
9、状态x(t0), 则称在t0时刻的状态x(t0)能观; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观，则称系统在t0时刻状态完全能观;,3. 状态能观性,若系统在所有时刻状态完全能观，则称系统状态完全能观，简称为系统能观。,若存在某个状态x(t0)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能观的，简称系统为状态不能观。,对上述状态能观性的定义有如下注记。 （1）对于线性定常系统，由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵，与时间无关, 因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”, 而为“某一时刻状态完全能观，则系统状态完全能观”。,（2）上述定义中的输出观测时间为t0,t1，并要求t1t0。
10、这是因为输出变量y(t)的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则，若m=n且输出矩阵C(t)可逆，则 x(t)=C-1(t)y(t) 即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mn，为了能唯一地求出状态变量的值，不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。 （3）在定义中把能观性定义为对初始状态的确定，这是因为一旦确定初始状态，便可根据状态方程的解表达式，由初始状态和输入计算出系统各时刻的状态值。,1.格拉姆矩阵判据,线性定常连续系统,状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 ，,使如下定义的格拉姆矩阵,为非奇异。,4.2 线性定常连续系统的状态能控性判别
11、,2.秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为,式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量， A、B分别为 常数阵。,、,满秩，即,系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵,3.PBH 秩判据,线性定常连续系统,系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 等式,，,或等价地,均成立,解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。 对特征值1=1,有,【例1】试判断如下系统的状态能控性。,对特征值2=2，有,对特征值3=3，有,由定理可知，因为对应于特征值3，定理的条件不成立，故该系统状态不完全能控。,4.对角形判据,如果线性定常系统 的系统矩阵A具有互不相同的特征值，
12、则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，它的状态方程,其中，,不包含元素全为0的行。,5.约当标准形判据,若线性定常系统的 系统矩阵具有重特征值，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形,对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,B)，有： 1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为 对应A的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为零;,2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为 对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一行线性无关。,【例2】试判断如下系统的状态能控性。,(1),解,根据约旦形模态判据，
13、系统(1) 能控。,解 A的每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。,解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关, 且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零，故系统状态完全能控。,表4-1 能控性判据小结,判据,判定方法,特点,格拉姆矩阵判据,需要求矩阵指数函数并判定函数，计算复杂,秩判据,1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控,约当标准形判据,约当标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关,1.易于分析状态空间中哪些
14、变量(特征值/极点)能控。 2.缺点为需变换成约当标准形,PBH 判据,1.易于分析哪些特征值(极点)能控。 2.缺点为需求系统的特征值,矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩,对于所有特征值 , rankI-A B=n,1.格拉姆矩阵判据,设定常连续系统在输入 时的齐次状态方程和输出方程分别为,为非奇异。,式中，x为n维状态向量，y为m维输出向量，A，C分别为 ， 常数阵。,则系统状态完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻t1使如下格拉姆矩阵,4.3 线性定常连续系统的状态能观性判据,2.秩判据,设线性定常连续系统的状态方程为,系统为能观测的充分必要
15、条件是以下能观性矩阵满秩，即,满秩,即：,3. PBH 秩判据,线性定常系统完全能观测的充要条件是， 的所有特征值 ， 均成立 或等价地表为,【例3】试判断如下系统的状态能观性。,解 由方程|I-A|=0，可解得矩阵A的特征值分别为-1,-2和-3。对特征值1=-1，有,列3=列2-列1,由PBH 秩判据知，因为对应于特征值-1， PBH 秩判据的条件不成立，故该系统状态不完全能观。,约旦规范形的线性定常连续系统(A,C)，有: 1. 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵，则系统能观的充要条件为 对应A的每个约旦块的C的分块的第一列都不全为零; 2. 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约
16、旦矩阵，则系统能观的充要条件为 对应A的每个特征值的所有约旦块的C的分块的第一列线性无关。,4.约当标准形判据,【例4】试判断如下系统的状态能观性。,解 由判据可知，A为特征值互异的对角线矩阵，但C中的第2列全为零，故该系统的状态x2不能观，则系统状态不完全能观。,解 由于A为每个特征值都只有一个约旦块，且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零，故系统状态完全能观。,解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的C的分块的第一列线性相关，该系统的状态x1、x2和x3不完全能观，则系统状态不完全能观。,对于所有特征值,判据,判定方法,特点,格拉姆矩阵判据,需要求矩阵指数函数并判定相关函数，计算复杂,秩判据,1.计算简便可行。 2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观测,约当标准形判据,约当标准形中同一特征值对应的C矩阵分块的第一列线性无关,1. 易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观测。 2.缺点为需变换成约当标准
