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1、 简单线性规划应用价值的探讨、线性规划的含义线性规划是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，即要寻找既满足约束条件又使得目标函数达到最优的解。要一下子处理可能比较困难，于是提出“可行域”这一概念，将求解线性规划的问题分解为两步：第一步先求“可行解”；第二步再求“最优解”；从而分散了难点，找到了解决问题的方法。线性规划作为非常成功的数学模型，在数学的各个领域里使用得非常广泛。II、线性规划的常规应用xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=02-222x+y=0增大图1线性规划最常见，最直接的应用就是用来求目标函数的最值，这种目标函数包括线性的和非线性的，解决这一类问题的方
2、法就是分析目标函数所代表的几何意义；如例1、(2008年广东卷)若变量满足约束条件,则的最大值是_.解析： 作出可行域(如图1)，从图可以看出表示的是直线在轴上的截距xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=0-22图2P(x,y)目标函数上移时z的值增大，由得 ,所以，上面这道题目标函数是线性的，如果再进一步变化就可以出现另外两类常见题型： 变式 求目标函数的最大值_解析： 该代数式的几何意义可以看成是可行域内的点与点（-2，0）所形成的直线的斜率的最大值，从图2可知, 当目标函数过A点时斜率有最大值1xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=0-22图3P(x,y)变式 求目标
3、函数的最大值_解析：目标函数的几何意义是求可行域内的点到原点的最大距离，从图3可以看出点到原点的距离最大，最大值为. 线性规划的内容是在高中数学必修5第三章中出现的，可是在前面的必修1必修4的教学中都出现了比较多的线性规划的内容，学生往往在解决这一类问题时，并没有注意到线性规划的应用。以下就举一些线性规划在其它章节中的应用的题型。III、线性规划应用的多样性1.线性规划在集合中应用例2（2007江苏）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为 （ ）x0x-y=0x+y=0x=1图4yA B C D解析：令，则有 由A满足的条件得,将其转化为 ，作出可行域（如图4）所以面积为1例3
4、设集合| 是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不图50 x+y=1/2x=1/2y=1/2含边界的阴影部分)的面积是_解析：根据三角形三边所要满足的条件，列出线性约束条件，即为, 作出可行域（如右图5所示），该线性区域的面积为图602.线性规划在函数中的应用例4 已知，且，,则的取值范围是_ 解析: 可化为:; 可化为:,将其变为，作出可行域（如图6所示）。所求的范围可看作目标函数的取值范围,当直线过点（1，0）有最小值-1，当直线过（3，7）有最大值20，所以范围为-1,20。例5 已知方程的两个根为,并且，则的取值范围 ( ) A B. C. D. x01+x+y=02x+y+3=0y
5、图7 解析：设，则有，即，转化为，转化为 ，作出可行域（如图7所示），目标函数的几何意义表示的是可行域内的点与原点（0，0）所形成的直线的斜率。取值结果为，选C3.线性规划在数列中的应用例6 (与数列有关的问题-2010年西工大附中第二次模考)设数列为等差数列，为前n项和，若则的最大值为( )A.3 B.4 C.-7 D.-5图80x=13 x+2y=3 2x+3y=5解析：此题若用数列的前n项和及通项公式去求解相当繁琐，不易求解，所以可将其看成是关于的线性规划问题，即，可化为，求的最大值;将其转化为，求的最大值问题，通过画出可行域(如图8所示)，求目标函数最值问题，选B.例7 （06北京高考
6、题） 设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为.()若,求数列的通项公式；()若，求所有可能的数列的通项公式.解析：（）由得,又,故解得.因此，的通项公式是 （）由得 将其转化为作出可行域,又因为，因此满足条件的有 或.所以，数列的通项公式可能为，和。图90x=1 x-y=1/3y=1 y-x=1/34.线性规划在概率中的应用例8 两人打算于 7 时到 8 时在公园约会，先到者等候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。 解析：这里实际上是一个线性规划问题。以 7 点为坐标原点，小时为单位。分别表示两人到达的时间， 构成边长为1的正方形S，显然这是一个几何概率问题，列出线性约束条件 ，画出可行域（如图9所示），所以概率为。5.线性规划在向量中的应用图100x=-3-3x+2y=04x+3y=0（-3，4）例9如图所示,在直角三角形中 ,为的中点 ，点是三角形内任意一点，求的最大值_ 解析：以点为坐标原点， 为轴建立直角坐标系,则,。求的最大值，相当于求目标函数的最大值。作出可行域（如图10所示）,当目标函数过点（-3，4）时有最大值13。5
