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1、小学奥数（知识点梳理） 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的 概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的小学数学奥林匹 克 、中国少年报社主编的华杯赛教材 、 华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列 教材和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体 系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题） ，原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知 识的主树干。 概述 一、计算 1 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运算技巧 一般而言： 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中，统一以分数形
2、式。 带分数与假分数的互化 繁分数的化简 2 简便计算 凑整思想 基准数思想 裂项与拆分 提取公因数 商不变性质 改变运算顺序 运算定律的综合运用 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质 增减括号的性质 变式提取公因数 形如： 1212 .(.) nn abababaaab 3 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4 比较大小 通分 a.通分母 b.通分子 跟“中介”比 利用倒数性质 若，则 cba.。形如：，则。 111 abc 312 123 mmm nnn 312 123 nnn mmm 5 定义新运算 6 特殊数列求和 运用相关公式： 2 1 321 nn n 6 121 21 222
3、 nnn n 2 1 n an nnn 4 1 2121 2 2 2 333 nn nn 131171001abcabcabcabc bababa 22 1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n 2 二、数论 1 奇偶性问题 奇奇=偶 奇奇=奇 奇偶=奇 奇偶=偶 偶偶=偶 偶偶=偶 2 位值原则 形如：=100a+10b+cabc 3 数的整除特征： 整除数特 征 2末尾是 0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是 3 的倍数 5末尾是 0 或 5 9各数位上数字的和是 9 的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是 11 的倍数 4 和 25末两位数是
4、4（或 25）的倍数 8 和 125末三位数是 8（或 125）的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是 7（或 11 或 13）的倍数 4 整除性质 如果 c|a、c|b，那么 c|(ab)。 如果 bc|a，那么 b|a，c|a。 如果 b|a，c|a，且（b,c）=1,那么 bc|a。 如果 c|b,b|a,那么 c|a. a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除。 5 带余除法 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,那么一定有另外两个整数 q 和 r，0rb, 使得 a=bq+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当 r0 时，我们称 a 不能被 b 整除
5、，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全 商（亦简称为商） 。用带余数除式又可以表示为 ab=qr, 0rb a=bq+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 p2.pk 1a2aak 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p1 p2.pk那么： 1a2aak n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1 +p1）（1+P2+P2 +p2）（1+Pk+Pk +pk） 21a22a2ak 8.同余定理 同余定义 ： 若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相
6、同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余，用式子表示为 ab(mod m) 若两个数 a，b 除以同一个数 c 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 c 整除。 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差。 两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积。 9完全平方数性质 平方差： A -B =（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 22 约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 平方和。 10孙子
7、定理（中国剩余定理） 11辗转相除法 12数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 三、几何图形 1 平面图形 多边形的内角和 N 边形的内角和=(N-2)180 等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变） 三角形面积与底的正比关系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者 S1S3=S2S4 相似三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2A2 abch ABCH S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2 燕尾定理 SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC； SBGA：SBG
8、CSAGF：SGFCAF：FC； SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB； 差不变原理 知 5-2=3，则圆点比方点多 3。 隐含条件的等价代换 BC A F D G E 例如弦图中长短边长的关系。 组合图形的思考方法 化整为零 先补后去 正反结合 2 立体图形 规则立体图形的表面积和体积公式 不规则立体图形的表面积 整体观照法 体积的等积变形 水中浸放物体：V升水=V物 测啤酒瓶容积：V=V空气+V水 三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题 染色问题 几面染色的块数与“芯” 、棱长、顶点、面数的关系。 四、典型应用题 1 植树问题 开放型与封闭型 间隔与株数的关系 2 方阵问题 外
9、层边长数-2=内层边长数 （外层边长数-1）4=外周长数 外层边长数 2-中空边长数2=实面积数 3 列车过桥问题 车长+桥长=速度时间 车长甲+车长乙=速度和相遇时间 车长甲+车长乙=速度差追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和相遇时间 车长=速度差追及时间 4 年龄问题 差不变原理 5 鸡兔同笼 假设法的解题思想 6 牛吃草问题 原有草量=（牛吃速度-草长速度）时间 7 平均数问题 8 盈亏问题 分析差量关系 9 和差问题 10和倍问题 11差倍问题 12逆推问题 还原法，从结果入手 13代换问题 列表消元法 等价条件代换 五、行程问题 1 相遇问题 路
10、程和=速度和相遇时间 2 追及问题 路程差=速度差追及时间 3 流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）2 水速=（顺水速度-逆水速度）2 4 多次相遇 线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数2-1 环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数 其中甲共行路程=单在单个全程所行路程共行全程数 5 环形跑道 6 行程问题中正反比例关系的应用 路程一定，速度和时间成反比。 速度一定，路程和时间成正比。 时间一定，路程和速度成正比。 7 钟面上的追及问题。 时针和分针成直线； 时针和分针成直角。 8 结合分数、工程、和差问题的一些类型。 9 行程问题时常运用“时光倒流
11、”和“假定看成”的思考方法。 六、计数问题 1 加法原理：分类枚举 2 乘法原理：排列组合 3 容斥原理： 总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：总数量=A+B-AB 4 抽屉原理： 至多至少问题 5 握手问题 在图形计数中应用广泛 角、线段、三角形， 长方形、梯形、平行四边形 正方形 七、分数问题 1 量率对应 2 以不变量为“1” 3 利润问题 4 浓度问题 倒三角原理 例： 5 工程问题 合作问题 水池进出水问题 6 按比例分配 八、方程解题 1 等量关系 相关联量的表示法 例： 甲 + 乙 =100 甲乙=3 x 100-x 3x x 解方程技巧 恒等变形 2 二元一
12、次方程组的求解 代入法、消元法 3 不定方程的分析求解 以系数大者为试值角度 4 不等方程的分析求解 九、找规律 周期性问题 年月日、星期几问题 余数的应用 数列问题 等差数列 通项公式 an=a1+(n-1)d 求项数： n= 1 1 n aa d 求和： S= 1 () 2 n aa n 等比数列 求和： S= 1( 1) 1 n a q q 裴波那契数列 策略问题 抢报 30 放硬币 最值问题 最短线路 a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题 a.统筹方法 b.烙饼问题 十、算式谜 1 填充型 2 替代型 3 填运算符号 4 横式变竖式 5 结合数论知识点
13、十一、 数阵问题 1 相等和值问题 2 数列分组 知行列数，求某数 知某数，求行列数 3 幻方 奇阶幻方问题： 杨辉法 罗伯法 偶阶幻方问题： 双偶阶：对称交换法 单偶阶：同心方阵法 十二、 二进制 1 二进制计数法 二进制位值原则 二进制数与十进制数的互相转化 二进制的运算 2 其它进制（十六进制） 十三、 一笔画 1 一笔画定理： 一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点； 两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出； 2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链 3 多笔画定理 笔画数= 2 奇点数 十四、 逻辑推理 1 等价条件的转换 2 列表法 3 对阵图 竞赛问题，涉及体育比赛常识 十五、 火柴棒问题 1 移动火柴棒改变图形个数 2 移动火柴棒改变算式，使之成立 十六、 智力问题 1 突破思维定势 2 某些特殊情境问题 十七、 解题方法 （结合杂题的处理） 1 代换法 2 消元法 3 倒推法 4 假设法 5 反证法 6 极值法 7 设数法 8 整体法 9 画图法 10列表法 11排除法 12染色法 13构造法 14配对法 15列方程 方程 不定方程 不等方程 另外补充说明： 在华校课本六年级中有 “棋盘上的数学” 三讲， 其实是找规律类型， 知识点涉及棋盘格， 几何，数论等，属于综合性问题。
