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1、第八节 函数的图象,高考指数:,1.六种基本初等函数的图象,（a0）,（a0）,(k0),(k0),(a1),(0a1),1,1,(a1),(0a1),y=x,1,1,【即时应用】 (1)下列四个图象是函数y=log2x的图象的是_.(只填序号),(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的_.(只填序号),(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 所在的象限为_.,【解析】(1)题中对数函数底数大于1，由图象知正确. (2)由g(x)=ax结合图象知a0且a1，故f(x)=ax图象为过原点且上升的直线，故不正确，再结合，分析01知
2、，正确. (3)由图象知，图象的对称轴 又抛物线的 开口向下，a0，由f(0)=c知，抛物线与y轴的 交点为(0,c).c0， 故点 在第二象限. 答案：(1) (2) (3)第二象限,2.函数图象间的变换 (1)平移变换,(2)对称变换： y=f(x) y=_; y=f(x) y=_; y=f(x) y=_; y=ax(a0且a1) y=logax(a0且a1),关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称,关于y=x对称,-f(x),f(-x),-f(-x),(3)翻折变换： y=f(x) y=_. y=f(x) y=_.,保留x轴上方图象 将x轴下方图象沿x轴翻折上去,保留y轴右边图象，并作
3、右边图象 关于y轴对称的图象,|f(x)|,f(|x|),(4)伸缩变换： y=f(x) y=_. y=f(x) y=_.,a1,横向缩短为原来的 倍 0a1,横向伸长为原来的 倍,a1,纵向伸长为原来的a倍 0a1,纵向缩短为原来的a倍,f(ax),af(x),【即时应用】 (1)思考：若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)(a0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？ 提示:向左平移a个单位即可；解析式变为y=f(x+a).,(2)在同一坐标系下，函数f(x)=log22x与g(x)=21-x的图象是下列四个图象中的_.,【解析】f(x)=log22x=1+log
4、2x. f(x)=log22x的图象是函数f(x)=log2x的图象向上平移1个单 位得到的；又 g(x)=21-x的图象是函数 的图象向右平移1个单位得到的.因此符合题意. 答案:,(3)已知如图(1)中的图象对应的函数为y=f(x)，则如图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是_. y=f(|x|) y=|f(x)| y=-f(|x|) y=f(-|x|),【解析】从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，排除， 又当x0时，图(1)与(2)中函数的图象一致，正确. 答案:,(4)若f(a+x)=f(b-x),xR恒成立，则函数y=f(x)的图象本身关于_
5、对称. 【解析】由已知可得：关于直线 对称. 答案:直线,(5)若方程|ax|=x+a(a0)有两个解，则a的取值范围为_. 【解析】在同一坐标系中分别作出当01时，y=|ax|=a|x|(a0)与y=x+a(a0)的图象，由图象得出a1时符合要求. 答案:(1,+),作函数的图象 【方法点睛】 作函数图象的常用方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数全部或局部或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，可直接作出.,(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序. (
6、3)描点法一般步骤为： 确定函数的定义域以限制图象的范围. 化简函数解析式.,讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 列表(尤其注意特殊点：零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点). 描点、连线. 【提醒】当函数解析式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势、大致形状等.,【例1】作出下列函数的图象 (1)y=elnx; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=a|x|(0a1); (4) (5),【解题指南】对于(1)可先求定义域，化简解析式，再用直接法画图象；对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象；对于(5)可借助于导
7、数用描点法作出其大致图象.,【规范解答】(1)函数的定义域为x|x0且y=elnx=x,(x0) 其图象如图(1).,o,（1）,(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图(2).,（2）,(3)方法一： 所以只需作出函数y=ax(0a1)中x0的图象和 中x0的图象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3). 方法二：作出y=ax(0a1)的图象，去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象，并作关于y轴对称的图象，即得y=a|x|的图象，如图(3).,(0,1),（3）,(4) 故函数图象可由 图象向右平
8、移1个单位，再向上平移2个单位而得.如图(4).,（4）,(5) y=x2-2x-3.令y=0,得x1=-1，x2=3, 令y0，得单调增区间为(-,-1)和(3,+).令y0,得单调 减区间为(-1，3)，所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别为 和-9，由此可得其图象大致如图(5).,（5）,【反思感悟】为了正确作出函数的图象，必须做到： (1)熟练掌握六种基本初等函数的图象； (2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧，来简化作图过程.,【变式训练】分别画出下列函数的图象： (1)y=|lgx|； (2)y=2x+2； (3) (4)y=x2-2|x
9、|-1,【解析】(1) 函数y=|lgx|的图象，如图(1)； (2)将函数y=2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y=2x+2的图象，如图(2)；,1,（1）,(2),(3) 可见原函数图象可由 图象向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图(3).,(4) 且函数为偶函数，先用描点法作出0，+)上的图象，再根据对称性作出(-,0)上的图象.得图象如图(4).,（4）,识图与辨图 【方法点睛】 识图与辨图常考类型及解法 (1)知图求式： 从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； 从图象的变化趋势，观察函数的单调性； 从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； 从图象的循环往复，观察函
10、数的周期性. 从图象的类型及点的坐标求函数的解析式.,(2)知式定图： 从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置； 从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断图象的循环往复； 从函数的极值点判断函数图象的拐点.,【例2】(1)(2011山东高考改编)函数 的图象大致是下列各图中的_.(只填序号),(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象 如图所示，则在(-2，0)上，下列函数 中与f(x)的单调性不同的是_. y=x2+1 y=|x|+1 ,【解题指南】(1)根据解析式得函数的奇偶性、零点、
11、单调性、周期性，从而可知答案；(2)由f(x)的奇偶性作出其在(-2，0)上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证所给函数在(-2，0)上的单调性,是否与f(x)在(-2，0)上的单调性不同，从而作出判断.,【规范解答】(1)方法一：因为 是奇函数，所以其图 象关于原点对称，因此排除， 为求解本题，应先研究 即 在同一坐标系内 作出y1=sinx与 的图象，如图所示，可知当x0时， y1=sinx与 只有一个交点，设其交点坐标为(x0,y0)，则 当x(0,x0)时， 即 此时 又 因此x0时，可以有y0,也可以有y0,即函 数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除 、，故正确.
12、,方法二： 得 根据三角函数的知 识，这个方程有无穷多解，即函数 有无穷多个极 值点，函数 是奇函数，图象关于坐标原点对称， 故只有的图象符合题意. 答案：,(2)由奇偶性知函数f(x)在(-2，0)上的图象如图所示：,则知f(x)在(-2，0)上为单调减函数，而y=x2+1,y=|x|+1和 作出其图象知在(-2，0)上均为减函数. 又y=x3+1,x0,故y=x3+1在(-2，0)上为增函数，与f(x)的单调性不同. 答案：,【反思感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.,【变式训练】(1)设ab，函数y=(x-a
13、)2(x-b)的图象可能是下图中的_.,【解析】当xb时，y0，当xb时，y0，故答案为. 答案:,(2)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是下图中的_.,【解析】方法一：函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集(-,0)(0,+)，图象不经过坐标原点，故可以排除、.由于当x为很小的正数时f(x)0且g(x)0，故f(x)g(x)0.故答案为. 方法二：由函数f(x),g(x)的图象可知，f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除，又函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x
14、)与y=g(x)的定义域的交集(-,0)(0,+)，图象不经过坐标原点，可以排除、，故正确. 答案：,函数图象的应用 【方法点睛】 利用函数图象解决的问题及思路 (1)利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象数形结合研究.,(2)利用函数的图象研究方程的根的个数 方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标; 方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. (3)利用函数的图象研究不等式 当不等式不常见且用求解的方法不能解决时，常将不等式问题转化为两函数图象
15、的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.,【例3】已知函数f(x)=x|m-x|(xR)，且f(4)=0. (1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)0的解集； (5)求集合M=m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根.,【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题. 【规范解答】(1)f(4)=0， 4|m-4|=0，即m=4； (2)f(x)=x|m-x| =x|4-x|= 函数f(x)的图象如图： 由图象知f(x)有两个零点.,(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2，4； (4)从图象上观察可知： 不等式f(x)0的解集为：x|04. (5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0m4,集合M=m|0m4.,【互动探究】在本例的条件下求f(x)在1，5上的值域. 【解
