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1、初中函数知识点总结初中函数知识点总结 知识点一、平面直角坐标系知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴， 取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标 系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分， 分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其
2、顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“， ”分开，横、 纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时， （a，b）和（b，a）ba 是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0, 0yx 点 P(x,y)在第二象限0, 0yx 点 P(x,y)在第三象限0, 0yx 点 P(x,y)在第四象限0, 0yx 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上，x 为任意实数0 y 点 P(x,y)在 y 轴上，y 为任意实数0 x 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，
3、y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标 的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离
4、 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x （3）点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx 知识点三、函数及其相关概念 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确 定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量
5、的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示， 这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫 做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 知识点四、正比例函数和一次函
6、数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果（k，b 是常数，k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。bkxy 特别地，当一次函数中的 b 为 0 时，（k 为常数，k0） 。这时，ybkxykxy 叫做 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经bkxykxy 过原点（0，0）的直线。 k的符 号 b 的符 号 函数图像图像特征 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限， y 随 x 的增大而增大。 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、四象限， y 随
7、 x 的增大而减小 k0 k0 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，图像从左之右上升； （2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大 （2）当 k0 时，直线与 y 轴交点在 y 轴正半轴上 （4）当 b0k0 时， 函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y0； 当 k0a0 图像 y 0 x y 0 x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是 x=， a b 2 顶点坐标是（，） ； a b 2 a bac 4 4 2 （3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随
8、x 的增大而增大， a b 2 简记左减右增； （4） 抛物线有最低点， 当 x=时， y 有最小值， a b 2 a bac y 4 4 2 最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是 x=， a b 2 顶点坐标是（，） ； a b 2 a bac 4 4 2 （3） 在对称轴的左侧， 即当 x时，y 随 x 的增大而 a b 2 减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当 x=时， a b 2 y 有最大值， a bac y 4 4 2 最大值 2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 2 0axb
9、xc 2 yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的 2 40bac x 12 00A xB x， ， 12 ()xx 是 一 元 二 次 方 程的 两 根 这 两 点 间 的 距 离 12 xx， 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 推导过程：若抛物线与轴两交点为，由于、cbxaxy 2 x00 21 ，xBxA 1 x 是方程的两个根，故 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 , aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 当时，图象与轴只
10、有一个交点； 0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当 时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 记忆规律：记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。ac4b2 当0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当0 时，抛物线开口向上；0 时，抛物线开口向下；的绝对值越大，开口越小aaa （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 ，故：时，对称轴为
11、轴；（即、同号）时，对称轴 a b x 2 0by0 a b ab 在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（口诀左同 右异口诀左同 右异）y0 a b aby （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy 2 y 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，） ：0 xcy cbxaxy 2 yc ，抛物线经过原点;0c ,与轴交于正半轴；0cy ,与轴交于负半轴.0cy 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 y .0 a b 知识点十四、中考点击知识点十四、中考点击 考点分析： 内容要求 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数
12、之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 命题预测 ： 函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选 择、 填空的形式考查自变量的取值范围， 及自变量与因变量的变化图像、 平面直角坐标系等， 一般占 3-6 分左右一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选 择、解答题及综合题的形式考查，占 6 分左
13、右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题 形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，36 分；二次函数是初 中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求 ： 能通过对 实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义 ； 会用描点法画二次函数 图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴， 并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值 分析近年中考，预计 2014 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的 变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理 解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用
