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1、【考纲下载】,1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2会运用函数图象理解和研究函数的性质.,第4讲 函数的奇偶性,(1)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)奇函数的图象关于 原点对称 (2)偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ， 那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)偶函数的图象关于y轴对称,f(x)f(x),f(x)f(x),1函数的奇偶性,提示：函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以两者都不是，但必须注意的是，研究
2、函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称,对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的 T，使得当x取定义域内的 每个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数对 于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在着一个最小的正数，就把 这个最小的正数叫做 . 提示：(1)一个周期函数不一定有最小正周期； (2)若T为f(x)的周期，则kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期,最小正周期,常数,2函数的周期性,Abc0 Ba0 Cb0，a0 Dc0 解析：由f(x)f(x)，得ax3bx2cax3bx2c，bc0. 答案：A,1已知函数f(x)ax3bx2c是奇函数，则(
3、),bf( )，cf ，则有() Aacb Bbac Cbca Dcab,解析： 即 ，bca. 答案：C,2已知f(x)是偶函数，且在(0，)上是增函数，af ，,3(2009辽宁)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f 的x取值范围是() 解析：f(x)为偶函数，f(2x1)f(|2x1|)， |2x1| ，解得 x . 答案：A,4(2010改编题) 设定义在R上的函数 f(x) 满足 f(x4)f(x)， 若f(2)2，则 f(2 010)_. 解析：由 f(x4)f(x) 知 f(x)的最小正周期为4， f(2 010)f(50242)f(2)2. 答案：2,
4、利用定义判断函数奇偶性的方法： 1首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的 必要条件 2如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)，或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例),【例1】 判断下列各函数的奇偶性 (1) f (x) ； (2) f(x)(x1) ； (3) f(x) . 思维点拨：(1)考虑定义域；(2)利用定义域化简函数；(3)分段讨论,解：(1)函数定义域为1,0)(0,1，在定义域内，原函数可化为 f(x) ，显然 f(x)是奇函数 (2)由 0得定义域为1,1)，不关于原点对称，故f(x)是非
5、奇非偶函数 (3)当x0， 则f(x)(x)2x(x2x)f(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x) 综上，得对任意x(，0)(0，)，都有f(x)f(x) f(x)为奇函数,求解过程注意以下结论的应用： f(x)是偶函数：f(x)f(x)恒成立； f(x)是奇函数：f(x)f(x)恒成立,解：解法一：f(x)是R上的偶函数， f(x)f(x)在R上恒成立 即 ，即(a21)e2x1a20，对任意的 x 恒成立， 解得a1.,【例2】 设a0，f(x) 是R上的偶函数，求实数a的值,解法二：f(x)是R上的偶函数， f(1)f(1)， ae ， e 0， (e21)0，
6、a 0.又a0，a1. 经验证当a1时，有f(x)f(x) a1,变式2：已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x22x. 求f(x)在R上的解析式 解：设x0，由题设f(x)(x)22(x)x22x. f(x)为奇函数， f(x)f(x)， f(x)f(x)(x22x)x22x. f(x),与奇函数、偶函数有关的求周期函数解析式问题，求解时将x设在所求 解析式的区间上，将x加上或减去周期的倍数，转化为已知解析式的区间， 利用奇、偶函数和周期函数的性质求出解析式,【例3】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x0,1) 时，f(x)2x1，则f(log
7、6)的值为() A B5 C D6,解析：log 8log 6log 4，3log 62. 设3x2，1x20.0x21. f(x2)2x21. f(x)是以2为周期的奇函数， f(x2)f(x2)f(x) f(x)12x2. f(log 6)f(log26)12(log262)12log2 1 答案：C,变式3：已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时， f(x)2x2，则f(7)() A2 B2 C98 D98 解析：f(7)f(81)f(1) f(1)，f(7)2. 答案：A,1.证明抽象函数的奇偶性，须利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活变
8、形配凑，找出f(x)与f(x)的关系 2对于抽象函数性质的思考，要注意寻找问题的“原形”，可根据具体的函数打开思路寻求突破口，本题实际上解决了和正比例函数相关的问题,【例4】 已知函数f(x)对一切x，yR都有f(xy)f(x)f(y) (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(3)a，用a表示f(12) 思维点拨：抽象函数一般考虑赋值法,证明：(1)显然f(x)的定义域为R，它关于原点对称 在f(xy)f(x)f(y)中， 令yx，得f(0)f(x) f (x)， 令x y 0，得f (0)f (0)f(0)，f (0)0. 把f (0)0代入f (0)f (x)f (x)，得f (x)f
9、 (x) 综上，f (x)是奇函数 (2)解：由f (3)a，f (x y)f (x)f (y)及f (x)是奇函数，得f (12)2f (6)4 f(3)4 f(3)4a.,【方法规律】,1奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，一个函数是奇(偶)函数的充要条件是其函数图象关于原点(y轴)对称 2奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：f(x)f(x) .,3解题中要注意以下性质的灵活运用： (1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)； (2)若奇函数f(x
10、)在x0处有定义，则f(0)0. 4函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件.,(2009 山东卷)定义在R上的函数f(x)，满足f(x) ， 则f(2 009)的值为() A1B0C1D2,【高考真题】,【规范解答】,解析：由已知，得f(1)log221，f(0)0， 故f(1)f(0)f(1)1， f(2)f(1)f(0)1， f(3)f(2)f(1)1(1)0， f(4)f(3)f(2)0(1)1，,f(5)f(4)f(3)1， f(6)f(5)f(4)0， 故当x1,2,3,4，时，f(x)的取值依次是1， 1,0,1,1,0，1，1,0,1,1， 即
11、当x取整数时，数列f(x)是以6为周期的周期数 列，故f(2 009)f(5)1. 答案：C,【探究与研究】,本题主要是考查利用函数的周期性解决求函数值的问题考题的命制一方面将函数周期的探究过程设计为一个由特殊到一般的归纳过程；一方面又将分段函数、递推函数及对数函数、对数的运算等知识与之相互交汇这样就形成了一道以函数的内容为基础，又隐含着归纳推理知识的小题这道小题可以真正考查考生在函数的外形下，运用归纳的方法去分析问题、解决问题的能力,(1)计算不到位，找不到函数取值的规律，归纳不出函数的周期 (2)有的考生心理素质较差，没有耐心计算，干脆放弃了,f(2 009)f(2 008)f(2 007) f(2 007)f(2 006)f(2 007)f(2 006) f(2 005)f(2 004) f(2 004)f(2 003)f(2 004)f(2 003) 由此可知函数f(x)，x0时周期为6. f(2 009)f(33561)f(1)log221.,1若T为函数的一个周期，则nT(nN*)也是函数的周期； 2若对任何xD都有f(xa) f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数； 3若对任何xD都有f(xa) ，则f(x)是以2a为周期的函数； 4若函数f(x)有两条对称轴xa，xb，则f(x)是以2(ba)为周期的函数(ba).,【方法探究】,点击此处进入 作业手册,
