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1、 练习一答案一、11xN 时,有 ( 2 ) 证明: 只要 由于:只要 当时 =02、证明: , N0,当时,有 反之,取 而 不存在。3、证明: M0,有, N0,当时,有 练习三答案一、1、(D) 2、(A) 二、 1、 2、 3、 20 4、 5、三、 1、(1) 证明: ,欲使 只要 即 当0时,有: (2) 证明:只要 只要 即:取 当时,2、证明: 而 不存在。 3、证明: 由 ,当时。有,当时有 即: 4、证明:必要性:,当时,有而: 可分为: 和 两种情况分别对应: 和 充分性: 当 时又 ,当时,取 当时 有 练习四 答案一、1、(B) 2、(C) 3、(A) 二、 1、(1
2、) 2 (2) 00 =0 (3) (4) = (5) (6) (7) (8)不存在 不存在。 (9) (10)2、解: 不存在, 又 三、证明:, 使 nM 取 y= 在 上无界 对于 使 xG 而 当 时,不为无穷大.练习五 答案 一、 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)= (8) (9) 而 原式=1二、1、 证明: 即: 2、 证明:用数学归纳法先证明单调增 又设 时,那么 时, 而 单调增 其次证有界 设 显然有 有界 存在,设为A,在 两边令有:A=得A=2 A= -1(舍去)3、而 原式=1/2练习六答案 无穷小比较,等价无穷小一、1、低 2、2, 3、1,
3、4、等价二、 1、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、三、 证明:若 则:即:,即 反之,以上步步可逆。即若, 则练习七 答案一、 1 (A) 2 (C ) 3 (C ) 4 (B ) 二、 1、解:令 则 由于 为可去间断点 为无穷间断点(第二类间断点)。 2、解:令tan x =0 ,则 对为f(x)可去间断点,而为f(x)的无穷间断点(第二类间断点)为f(x)可去间断点。3、解: 而 f(0)没有定义 x=0为f(x)的可去间断点。4、解: f(0)=1 的连续点而为f(x)的无穷间断点(第二类间断点)三、解: 为跳跃间断点(第一类) 同理也为跳跃间断点(第一类)四、解: 要使f(x
4、)在x=0连续 必须有 练习八 答案 一、 1、 (D) 2、 (B) 二、 1、 2、 3、令 4、 5、= 三、 1、证明:令 又f(x)在-1,1上连续 在(-1,1)至少有一个零点, 即:f(x)=0在(-1,1)至少有一个根。2、 证明:令 ,显然f(x)在0,+连续, 又f(0)=-b 0 f(a+b)=a1-sin(a+b) 若 a+b=2k+ ( 则, a+b显然为根。 若 a+b2k+(, 则 f(x)在(0,a+b)至少有一个零点。 总之,f(x)=0至少有一个正根,并且它不超过a+b。3、 证明:存在,不妨没=A ,当时, 取 ,当时,即 又f(x)在内连续 f(x)在
5、连续 f(x)在上有最大值 取4、不妨没 ,使 阶段自测题(一)答案 一、1、() 2、() 3、() 4、()二、1、(D) 2、(C) 3、(C) 4、(B) 5、(D)三、1、(1+x) 2、4,10 3、一,跳跃 4、四、1、(1) (2) (3) (4) (5) (6)原式= 2、解:f(-1-0)=0 f(-1)=b f(-1+0)=a+ 使f(x)在x=-1连续五、1、 证明: 存在。 在两边令 得: 2、 证明:令F(x)=f(x)-x ,显然F(x)在a,b上连续 F(a)=f(a)-a 0 , F(b)=f(b)-b 0 在(a,b)内至少有一点使F()=0 即:使f()=
6、练习九 答案 1. 从直线运动方程, 求t=1 ,时的平均速度。解: 2. 按导数定义求下列函数的导数 (1) (2)解:(1) (2) =3. 证明: 证明: = =4. 试证: 在x=0右连续,但不存在。 证明: = 不存在。5、设 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a,b应取什么值? 解: 又 = =2 6、已知:解:当x0时,f(x)=x 当x=0时, (0)= (0)= 7 、若是偶函数,且存在,求 证明:是偶函数, 令 又 练习十答案 导数四则运算1、(1)解: (2)解: (3)解: (4)解: (5)解: = (6)解: (7)解: (8)解: (9)解: (10)解:
7、= (11)解: (12)解: (13)解: (14)解: (15)解:2、求下列函数在给定义处的导数 (1) (2)3、解: 曲线上任一点的切线的斜率为曲线上该点的导数。 斜率 由 所求坐标为4、求曲线与x轴交点处的切线方程解:由方程 得交点 而 切线方程5、证明: = = =练习十一答案 反函数、复合函数求导1、(1)解: (2)解: (3)解: (4)解: (5)解: (6)解: (7)解: (8)解: (9)解: (10)解: (11)解: (12)解: (13)解: (14)解: (15)解: = (16)解: = (17)解: (18)解: =3 (19)解: = (20)解:2、 解:(1)(2)3、 解:(1) (2) (3) (4) (5) (6) = (7) (8)(9)(10) (11)(12)(13)(14)(15) =4、解:(1)