时间序列及其模型

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1、第四章 时间序列及其模型,时间序列 对平稳随机过程x(t)在 各时刻进行等间隔采样的一组随机变量，称为随机序列，常称为时间序列，因为是等间隔的，常记为： 。,时间序列的统计特性,一维分布函数和概率密度函数,其中 表示一随机变量， 表 中的一个可能取值， 表示概率 一维概率密度函数,二维联合概率分布函数和概率密度函数 设时间 和 的状态为和，则,称为随机变量 和 的联合概率分布函数。,其联合概率密度函数为,N维概率分布函数和概率密度函数,如果 ,则称N个随机变量 之间是统计独立的。,对时间序列 ，若 且 ， 其中 ，则称 为广义平稳时间序列。,时间序列的数字特征,一、数字期望（均值） 实随机序列

2、 的数学期望：,二、均方值与方差 均方值 表示随机序列 的总平均功率。 方差：,均值 ,方差 与 均方值的关系 对于平稳随机序列有,若随机序列 满足平稳性，则 ， ， 与n无关。 即，对所有整数n和m，有：,三、时间序列的相关性实随机序列 在时刻i和时刻j之间的自相关函数,若 平稳：,自协方差函数：,若 平稳：,3. 实随机序列 和 的互相关函数,若 和 是平稳的：,4. 互协方差函数：,若 和 是平稳的：,若对所有的m有： ，则称 与 互为正交,若有 ，即 ，则称 与 互不相交。,注：统计独立必不相关，但反之不一定成 立。,性质：,四、时间序列的各态历经性 时间均值,时间自相关函数：,如果平

3、稳随机序列的集平均与集自相关函数依概率1趋于平稳样本序列的时间平均与时间自相关函数，则称平稳随机序列具有各态历经性。,各态历经序列的功率谱,若 绝对可积：,定义 ：,T为采样间隔。此式为 的离散傅里叶变换 。,可设：,若令T=1，,令m=0,有：,可见 为随机序列 的功率密度函数。,时间序列模型,思路：用各种随机差分方程表示时间序列信号的模型，一般一个平稳离散随机信号可视为白噪音序列，通过某一离散时间线性系统所产生的，即,一、 自回归模型（AR模型） 设 为具有零均值，方差为 的平稳白噪声序列。若随机序列 可表示为：,（4-73）,则称上式为p阶自回归模型（auto-regressive），简

4、称AR模型，用AR（p）表示。AR（p）模型表示： 是它的p个过去值和白噪声 的线性组合。,“自回归”的意思：（该模型的）现在的输出 以随机误差 线性回归于它的p个过去值。,AR（p）模型传递函数 由（4-73）式设,其中,两边取Z变换：,(4-110),可见AR模型是全极点模型，有p个极点。,AR模型的功率谱密度函数：,AR模型的参数与相关函数的关系（Yule-walker方程）,（ 滤波器是物理可实现的， 时， ）,由Z变换的定义：,写成矩阵形式,或,（4-115）,（4-116）,写为矩阵形式：（注意到 ）,（4-117）,式（4-115）和式（4-117）称为AR模型的正则方程。也称为

5、尤里-沃克（yule-walker）方程。系数矩阵称为Toeplitz矩阵。如果选定了AR模型，则可根据观测数据计算自相关函数，由方程（4-117）就可求解模型参数 。,二、滑动平均模型（MA模型） 设 为零均值，方差为 的白噪声序列，若随机序列可表示为：,（4-118）,其中 为实常数，且， ，则称上式为q阶滑动平均（mowing-average）模型，简记为MA（q）模型。,MA（q）模型的传递函数： 对式（4-118）取Z变换：,（4-122）,可见MA(q)模型为全零点模型，有q个零点。,MA(q)模型的功率谱密度函数：,令 ，,MA(q)的自相关函数：,（4-125）,且,当mq时， ，q为相关长度。,的方差为：,三、 自回归滑动平均模型（ARMA模型）,设 为零均值，方差为 的白噪声序列，若随机序列 可表示为：,（4-130）,则称上式为自回归滑动平均模型，简称为ARMA模型。说明：ARMA模型是由一个p阶自回归模型和一个q阶的滑动平均模型组成。,ARMA模型的传递函数 对（4-130）式做Z变换可得：,可见ARMA（p，q）有q个零点，p个极点。,ARMA模型的功率谱密度函数：,ARMA模型的自相关函数： 可以证明：,以上讨论的三种模型是常见模型。,