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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设,当时,( )(A)比高阶的无穷小 (B)比低阶的无穷小(C)与同阶但不等价的无穷小 (D)与是等价无穷小【答案】(C)【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】,即当时,即与同阶但不等价的无穷小,故选(C).2、已知由方程确定,则( ) (A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2【答案】(A)【考点】导数的概念;隐函数的导数【难易度】【详解】当时,.方程两边同时对求导,得将,代入计算,得 所以,选(A).3
2、、设,则( )(A)为的跳跃间断点 (B)为的可去间断点(C)在处连续不可导 (D)在处可导【答案】(C)【考点】初等函数的连续性;导数的概念【难易度】【详解】,在处连续.,故在处不可导.选(C).4、设函数,若反常积分收敛,则( )(A) (B) (C) (D)【答案】(D)【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】由收敛可知,与均收敛.,是瑕点,因为收敛,所以,要使其收敛,则所以,选D.5、设,其中函数可微,则( )(A) (B) (C) (D)【答案】(A)【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】,故选(A).6、设是圆域位于第象限的部分,记,则( )(A) (B) (C) (D)【答
3、案】(B)【考点】二重积分的性质;二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知,.(),()因此,选B.7、设A、B、C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则( )(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】(B)【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵、按列分块,由于,故即即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由于B可逆,故,A的列向量组可由C的列向量组线性表示,故选(B).8、矩阵与相似的充分必要条件是( )(A)(B)为任意常数(C)(D) 为
4、任意常数【答案】(B)【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵,它们相似的充要条件是有相同的特征值.由的特征值为2,0可知,矩阵的特征值也是2,0.因此,将代入可知,矩阵的特征值为2,0.此时,两矩阵相似,与的取值无关,故选(B).二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .【答案】【考点】两个重要极限【难易度】【详解】其中,故原式=10、设函数,则的反函数在处的导数 .【答案】【考点】反函数的求导法则;积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知,.11、设封闭曲线的极坐标方程方程为,则所围平面图形的面积
5、是 .【答案】【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】面积12、曲线上对应于点处的法线方程为 .【答案】【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解】由题意可知,故曲线对应于点处的法线斜率为.当时,.法线方程为,即.13、已知,是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件,的解为 .【答案】【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】,是对应齐次微分方程的解.由分析知,是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为,为任意常数.由,可得 ,.通解为.14、设是3阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若,则 .【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易
6、度】【详解】等式两边取行列式得或当时,(与已知矛盾)所以.三、解答题:1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)当时,与为等价无穷小,求和的值.【考点】等价无穷小;洛必达法则【难易度】【详解】故,即时,上式极限存在.当时,由题意得16、(本题满分10分)设D是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值.【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意,.因,故.17、(本题满分10分)设平面区域D由直线,围成,求 【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意
7、,故18、(本题满分10分)设奇函数在上具有二阶导数,且,证明:()存在,使得;()存在,使得.【考点】罗尔定理【难易度】【详解】()由于在上为奇函数,故令,则在上连续,在上可导,且,.由罗尔定理,存在,使得,即.()考虑令,由于是奇函数,所以是偶函数,由()的结论可知,.由罗尔定理可知,存在,使得,即.19、(本题满分10分)求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设为曲线上一点,该点到坐标原点的距离为构造拉格朗日函数 由 得 点到原点的距离为,然后考虑边界点,即,它们到原点的距离都是1.因此,曲线上点到坐标原点的最长距离为,最短距离为1. 20、
8、(本题满分11分)设函数()求的最小值;()设数列满足,证明存在,并求此极限.【考点】函数的极值;单调有界准则【难易度】【详解】()由题意,令,得唯一驻点当时,;当时,.所以是的极小值点,即最小值点,最小值为.()由()知,又由已知,可知,即故数列单调递增.又由,故,所以数列有上界.所以存在,设为A.在两边取极限得 在两边取极限得 所以即.21、(本题满分11分)设曲线的方程为满足()求的弧长;()设D是由曲线,直线,及x轴所围平面图形,求D的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长;定积分的物理应用形心【难易度】【详解】()设弧长为,由弧长的计算公式,得()由形心的计算公式,得.
9、22、(本题满分11分)设,当为何值时,存在矩阵C使得,并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵,故可设.由可得 整理后可得方程组 由于矩阵C存在,故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行变换:方程组有解,故,即,.当,时,增广矩阵变为为自由变量,令,代入相应齐次方程组,得令,代入相应齐次方程组,得故,令,得特解方程组的通解为(为任意常数)所以.23、(本题满分11分)设二次型,记,()证明二次型f对应的矩阵为;()若正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为【考点】二次型的矩阵表示;用正交变换化二次型为标准形;矩阵的秩【难易度】【详解】()证明:,其中所以二次型f对应的矩阵为.()由于正交,故因均为单位向量,故,即.同理由于,故A有特征值.,由于,故A有特征值又因为,所以,故.三阶矩阵A的特征值为2,1,0.因此,f在正交变换下的标准形为.13