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1、第二章 线性平稳过程,2.1一般线性过程,2.2 平稳序列的线性数学模型,2.3 ARMA序列的因果可逆性,2.4 ARMA模型的平稳性条件和可逆条件,在应用时间序列分析中，最常用的平稳序列是线性平稳序列，即由白噪声的线性组合构成的平稳序列.,定义 零均值序列 称为白噪声,不相关,若其自相关函数满足,一、线性平稳序列,2.1一般线性过程,又若 是正态时间序列，称为正态白噪声（WN(0, 2)）.,若存在非负整数 q 和常数a0, a1, , aq，使时间序列Xt可表示为,称为白噪声的滑动平均.,注1 可将Xt 视为线性滤波器的输出，白噪声看成驱动系统的扰动序列(激励).,白噪声,注2 Xt ,
2、tZ 是平稳序列.,例 发声系统,二、线性过程的两种等价形式,1. 传递形式,时间序列分析中建立随机模型的思想：,将顺序值之间高度依赖的时间序列 Xt 看成由一系列独立“冲击”序列所生成.,通常将“冲击”序列理想化为白噪声过程 ，时间序列 Xt 取为白噪声的加权和.,Wold 分解式（正交分解）：任意零均值纯非确定的平稳过程都可表示为线性形式,(2.1.1),无穷阶滑动平均,权系数,称为沃尔德系数(格林函数、传递函数)，其中,是白噪声序列.,注1 （2.1.1）式可表示为算子形式,其中,称为传递函数或沃尔德系数的生成函数.,(2.1.1),注2 对动态数据进行适当的预处理，可将非平稳序列平稳化
3、与零均值化.,将时间序列Xt 视为线性滤波器的输出，白噪声看成驱动系统的扰动序列(激励),注3 （2.1.1）式的工程解释,输入,输出,线性滤波器模型,传递函数,2. 自回归形式,无穷阶自回归,在适当条件下 可表示为线性形式,(2.1.2),是白噪声序列,或,例2.1.1 考虑单摆运动,X0是单摆的初始振幅，Xt 是第t 次摆动的最大振幅， 是空气振动造成的随机干扰，,式(2.1.2) 与式(2.1.1)互为逆转形式：,3. 生成函数的关系,单摆受扰图,将生成函数 作用于(2.1.2)式,得,(2.1.3),或,白噪声,传递形式：,满足一定条件收敛.,逆转形式：,例2.1.2 若平稳序列的自回
4、归形式为,求得传递形式为,三、线性过程的均值函数与自协方差函数,定理2.1.1 (单调收敛定理) 若非负随机变量序列 单调不减，则当,推论 若时间序列Yt满足下式左端的级数收敛条件, 则有,定理2.1.2 (控制收敛定理) 若随机变量序列n满足,则当 时，有 ，且,注 几乎处处收敛, 若二阶矩荐在，则一定均方收敛，故 有,定理2.1.3 线性过程,若传递函数绝对可和 , 则有,(2.1.4),均值函数 ，,自相关函数为,证明,由单调收敛定理之推论,特别,(2.1.5),级数可和保证过程有有限方差,思考：,？,命题2.1.1 线性过程,若满足以下条件之一，序列具有平稳性 .,1）沃尔德系数绝对可
5、和：,四、线性过程的平稳性,定理2.1.3之证明,解释 在单位圆上或单位圆内级数收敛.,当 收敛.,注 若条件1）成立有,概率为1地收敛（a. s.）,2）沃尔德系数的生成函数,续例2.1.2 已知满足,的平稳序列有传递形式,递推可得到,即随机变量序列,均方收敛于,WN(0,32),(1/n)(5/4),五、线性过程的可逆性条件,平稳序列存在传递形式，表示为白噪声的无穷加权平均.,逆问题？,在什么条件下，可由序列 的加权和表示白噪声序列？,过程的等价形式,定义2.1.1 平稳线性过程 称为可逆的，,若存在常数序列 ，满足,(2.1.6),使,注 条件(2.1.6) 成立，即在单位圆上或单位圆内级数收敛，表达式惟一.,由平稳线性过程的两个等价形式，有,作用于传递形式,即,故当 时线性过程可逆.,软腭悬雍垂咽后壁口咽舌扁桃体会厌谷,X线侧位片口咽部结构,所给的图片正面图大片红色的部分，靠近眉毛的是额窦，在鼻子两旁的是上颌窦，都参与发声；侧位图中靠耳前上方的红色窦腔是蝶窦。,初值为0.3，扰动方差为9,
