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1、学 海 无 涯,例题精讲,1,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,知识点睛 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质， 还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半 菱形的判定 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是
2、菱形 判定：四边相等的四边形是菱形 重、难点 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它 是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边 形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质， 同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条 件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在
3、教学过程 中 应给予足够重视。,菱形的性质 及判定 中考要求,学 海 无 涯 板块一、菱形的性质 【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离 AB BC 16cm ，则 1 度,1,C,AB,H,C,A,O,D,B,P B F 【例4】 如图 1 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O ， H 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的 周长为24 ，则OH 的长等于 A H,C 图1 【巩固】如图，已知菱形 A
4、BCD 的对角线 AC 8cm，BD 4 cm，DE BC 于点 E ，则 DE 的长为 【例5】 菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为2 :1 ，则菱形较短的对角线的长度为 【巩固】如图 2，在菱形 ABCD 中， AC 6， BD 8 ，则菱形的边长为（） A 5B10C 6D 8,D,2,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,B,C 【例3】 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分 D E,图2 如图，在菱形 ABCD 中，A 60 ， E 、F
5、 分别是 AB 、AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD 的边长是 A E F,学 海 无 涯,图2,BC,A D,E,P C,F 图3,B,【巩固】如图 3，在菱形 ABCD 中， A 110 ， E 、F 分别是边 AB 和 BC 的中点， EP CD 于点 P ，则 FPC （） A 35B 45C 50D 55 D A,【例6】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60 的菱形，剪 口与折痕所成的角 的度数应为（ ） A15 或30 B 30 或45 C 45 或60 D 30 或60,图1,【巩固】菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、
6、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么EAF 等于 【巩固】如图，将一个长为10cm，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚 线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（） A10 cm2B 20 cm2C 40 cm2D 80 cm2 D,C,B,A,O,3,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,D,B,【例7】 已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角 的大小是 【例8】 如图，菱形花坛 ABCD 的周长为20m ，ABC 60 ， 沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD
7、 ，求两条小路的长和花坛的面积 A,C 图2 【例9】 已知，菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、CD 上的点，若 AE AF EF AB ，求C 的度数,学 海 无 涯,F,E,D,B,A,C 板块二、菱形的判定 【例10】如图，如果要使平行四边形 ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件 是 A D,F,C,B,BC 【例11】如图，在ABC 中， BD 平分ABC ， BD 的中垂线交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，求证：四边 形 BEDF 是菱形 A E D,F,C,【巩固】已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 A
8、D 、 BC 分别相交于 E 、 F . 求证：四边形 AFCE 是菱形. A E D O,B,【例12】如图，在梯形纸片 ABCD 中， AD / /BC ， AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点C 落在 AD 上的点C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连结CE .求证：四边形CDCE 是菱形 A CD,B,4,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,C,F,P,P,F,C,B,BEC 【例13】如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交CB 的延长线于 F ，交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分
9、A E DA E D,EFC,B,学 海 无 涯 【巩固】已知：如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点 E 与点C 重合，得GFC 若B 60 ，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形 ABFG 是菱形？ 证明你的结论 AGD,P,F,E,D,G,【例14】如图，在ABC 中，AB AC ，M 是 BC 的中点分别作 MD AB 于 D ，ME AC 于 E ，DF AC 于 F ， EG AB 于G DF、EG 相交于点 P 求证：四边形 DMEP 是菱形 A,F HE,BMC 【例15】如图，ABC 中，ACB 90 ，AD
10、 是BAC 的平分线，交 BC 于 D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB 于 E ，求证：四边形CDEF 是菱形 C D,B,A,【巩固】如图， M 是矩形 ABCD 内的任意一点，将MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移 动到点 M 的位置 画出平移后的三角形； 连结 MD，MC，MM ，试说明四边形 MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于 AB，AD 的 长； 当 M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形 MDM C 是菱形？为什么？,M,5,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,M,D,C,B,A
11、,三、与菱形相关的几何综合题 【例16】已知等腰ABC 中， AB AC ， AD 平分BAC 交 BC 于 D 点，在线段 AD 上任取一点 P （ A 点 除外），过 P 点作 EF AB ，分别交 AC 、 BC 于 E 、 F 点，作 PM AC ，交 AB 于 M 点，连 结 ME . 求证四边形 AEPM 为菱形 当 P 点在何处时，菱形 AEPM 的面积为四边形 EFBM 面积的一半？,学 海 无 涯,P,C D,EF,E,C,B,F,EC,B,已知菱形的一个内角为60 ，一条对角线的长为2 3 ，则另一条对角线的长为 已知，菱形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 、CD
12、上的点，且B EAF 60 ， BAE 18 求： CEF 的度数 A D,E,D,5.如图，在ABC 中，AB AC ，D 是 BC 的中点，连结 AD ，在 AD 的延长线上取一点 E ，连结 BE ， CE 当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由 B,A,C,6,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,B,C 6.如图， ACD 、ABE 、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形已知 AB AC 顺次连结 A 、 D 、 F 、 E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件 当BAC 为 度时，四边形 ADFE 为正方形 F E D A,A B M 课后练习 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm，则其面积为 如图，在菱形 ABCD 中，AB 4a，E 在 BC 上，BE 2a，BAD 120，P 点在 BD 上，则 PE PC 的最小值为 AD P,N,7,13.1.3 菱形的性质和判定,讲义学生版,page of 7,M,C,B,学 海 无 涯 7.如图，已知 BE 、CF 分别为ABC 中B 、C 的平分线， AM BE 于 M ， AN CF 于 N ，求 证： MN BC A E F,
